一條線平行于一個面可以推出
來源：網(wǎng)絡(luò)整理 2020-09-06 13:33:00
如果平面外一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那這么直線就和平面平行。簡言之：線線平行，則線面平行。同時，要證明線面平行，就得在平面內(nèi)找一條線，使得線線平行。
1線面平行的判定定理
定理1
平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。
已知：a∥b，a?α，b?α，求證：a∥α
反證法證明：假設(shè)a與α不平行，則它們相交，設(shè)交點為A，那么A∈α
∵a∥b，∴A不在b上
在α內(nèi)過A作c∥b，則a∩c=A
又∵a∥b，b∥c，∴a∥c，與a∩c=A矛盾。
∴假設(shè)不成立，a∥α
向量法證明：設(shè)a的方向向量為a，b的方向向量為b，面α的法向量為p。∵b?α
∴b⊥p，即p·b=0
∵a∥b，由共線向量基本定理可知存在一實數(shù)k使得a=kb
那么p·a=p·kb=kp·b=0
即a⊥p
∴a∥α
定理2
平面外一條直線與此平面的垂線垂直，則這條直線與此平面平行 [2] 。
已知：a⊥b，b⊥α，且a不在α上。求證：a∥α
證明：設(shè)a與b的垂足為A，b與α的垂足為B。
假設(shè)a與α不平行，那么它們相交，設(shè)a∩α=C，連接BC由于不在直線上的三個點確定一個平面，因此ABC首尾相連得到△ABC
∵B∈α，C∈α，b⊥α
∴b⊥BC，即∠ABC=90°
∵a⊥b，即∠BAC=90°
∴在△ABC中，有兩個內(nèi)角為90°，這是不可能的事情。
∴假設(shè)不成立，a∥α
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