名師解析2020高考數(shù)學真題：注重綜合能力考查(2)

　　你要放在高中數(shù)學里面來，很多同學怕做這種題，這種題，第一，對于同學們來說，有一個什么點呢？他的閱讀量會增加一些，他不喜歡。第二，他需要剝離掉那些跟純粹的數(shù)學知識點無關(guān)的。第三，雖然是考察數(shù)學建模，但其實在這道題里運用到生活情境里，是一個估算的能力。

　　這個題根據(jù)題目里給的條件，前面給了一個函數(shù)的表達式，問當這個函數(shù)值等于0.95K的時候，求自變量的值大約應該是幾。如果同學們在考試里面拿到這道題，把那個K去掉，就變成這個函數(shù)值等于0.95，你把0.95除過來，就變成了1+后面的e的表達次方，等于1除以0.95，剛好發(fā)現(xiàn)1除以0.95之后，大概是0.526左右。左右兩邊都有一個e，你把e去掉，剩下就變成e的整體的指數(shù)次方等于0.526左右，有一個負號，把它再化解，就會得到題干里提示的ln19。在這里考察同學們的是，第一，數(shù)學建模。第二，考察同學們大致的估算能力。這些在這幾年的考題里都有。比如2019年的題目，出現(xiàn)了類似考察數(shù)學模型的問題。2019年當時考了一個題，把物理上的天體運算的公式放在數(shù)學試卷里來考。當時考完試之后，2019屆的很多同學就開始吐槽，“這個命題老師不會把題目給搬錯了吧？”

　　主持人：這是考物理還是考數(shù)學？

　　肖晗：我是不是把明天早上的題目給做了，數(shù)學老師真好。我們這是開玩笑。命題老師考察的是，會給你各種各樣的數(shù)學模型，其實是強化大家對于數(shù)學在日常生活里邊，它是有很多的用度。像我們之前每年高考數(shù)學一考完，就會有很多同學或者很多人吐槽，應該把數(shù)學從高考里面去掉，學數(shù)學是干什么？是為了賣菜嗎？有很多網(wǎng)友這樣的吐槽。

　　這幾年，不管是命題老師也好，還是高中數(shù)學新課程改革里，都有這樣的要求，我們一定要加強同學們對于在實際生活里邊應用數(shù)學模型的知識，幫助我們解決生活里面問題的能力。這是今年III卷出現(xiàn)的問題。

　　今年在新高考里其實也出了一個類似這樣的問題，給了一個題干特別長的背景，讓大家來研究新冠肺炎，利用后邊給出來的這些數(shù)學方法去研究，“當新冠肺炎在疫情的初級階段的時候，累計感染病例增加一倍需要的時間約為什么？”這個題對于我們今年整個上半年大家集體抗疫的情境下，我們需要在這里邊去強化很多這樣的東西，我們通過國家的努力，再加上老百姓的努力，我們是可以克服這個問題的。數(shù)學在這里面起到了哪些作用？當時像鐘南山院士、張文宏大夫都提出了很多數(shù)據(jù)，說預計在什么時間地疫情達到高峰。并不是這些大夫憑空說的。

　　主持人：是用數(shù)據(jù)算出來的。

　　肖晗：這幾年會加強這方面的（考察）。各位同學和家長能夠看到，這個題跟全國III的命題方式很像。全國III卷后面給了ln19約等于3，后邊這個題給了一個大致的數(shù)。

　　主持人：In2約等于0.69%。

　　肖晗：給了一個大致的數(shù)，其實就是考察大家用這個數(shù)學模型，我們可以預測或者是做一個估算。

　　這是今年出現(xiàn)的比較熱點的題目，我們這里因為時間的關(guān)系，我們根據(jù)同學們的反饋。

　　主持人：對，因為時間太緊張了，我們在收集題目，網(wǎng)友回饋題目的時間也有限。

　　肖晗：我們更多是通過我們自己班課上的同學，我們也會在群里跟他們做溝通，安撫他們或者是幫他們備考，怎么調(diào)整心態(tài)，準備明天的考試。

　　我今天拿到這張試卷的時候都特別激動，新高考試卷考察了這么多新的方向，這個新更多的具體是放在了題型的分布上。我相信現(xiàn)在很多同學特別關(guān)注的一個東西是，跟全國卷比起來，它在命題方式上有沒有什么變化？或者是在考察方向上有沒有什么變化？這幾年題目情景的應用能力的問題，還有數(shù)學建模能力考察的問題�，F(xiàn)在肯定有很多同學也在關(guān)注，新高考的題目的命題方式或者說它考察的方向，具體的每一個知識模塊考察的方式、題目出題的方式跟全國卷有沒有什么對比？肯定有很多同學特別擔心，出現(xiàn)了多選題，我的天吶，出現(xiàn)了多選題。命題方式也不一樣，我以前學的東西都沒用了，命題老師會不會考察一個新的東西？

　　我們在這里要跟大家說，我們一直有一句話“你能看到的問題，其實解決方案都在過去。”現(xiàn)在不管是全國卷也好還是新高考的試卷，在數(shù)學這個學科上，它其實一直在不斷地結(jié)合我們的新課程改革，給大家做一個命題方式上的調(diào)整。大概我們今年剛剛說的所有的這些熱點題，我們其實在很早之前，我們作業(yè)幫直播課高中數(shù)學，我們高考研究院內(nèi)部就有聊過這個事，其實這些題目我們之前就可以預見到的。因為早在2017年，我們課程的“改革說明”出來之后，里邊就特別特別強調(diào)，我們一定要重視同學們在實際生活中對數(shù)學能力應用的培養(yǎng)，還有數(shù)學文化。比如剛剛說到鋼琴里都出現(xiàn)了這種問題。

　　在這里我們跟大家說，整個今年的全國卷的命題特點。

　　主持人：這應該是我們正在收看直播的學生或者是家長特別想知道的，命題特點是什么。

　　肖晗：剛才前面說的更多是它在題型分布上的變化，可能今年大家比較關(guān)注會成為我們熱點的幾個題目。其實對于廣大備戰(zhàn)明年高考的家長和同學來說，我們可能更關(guān)注的，甚至包括我們作為數(shù)學老師在內(nèi)，我們都特別關(guān)注今年的全國卷、新高考試卷里整個命題的特點，可以作為我們未來復習的一個方向。

　　它會有些什么特點呢？我們寫了一句話。

　　主持人：高考考什么你就學什么。

　　肖晗：對。我們一直有這樣一個方針，高考考什么你就應該學什么。這幾年課程改革說明出來之后，數(shù)學重視培養(yǎng)“四基”、“四能”，重點考察大家的數(shù)學思想、“課程改革說明”里強調(diào)數(shù)學文化以及應用能力（數(shù)學建模），和實際生活的結(jié)合，還有創(chuàng)新能力，比如新高考里今年出現(xiàn)了解答題里面讓自己選條件。

　　主持人：答案不一樣，不是標準答案。

　　肖晗：對。過往同學們做解答題的時候是根據(jù)命題老師指定的唯一或者幾個條件，你不能改。今年調(diào)整了一下，你自己來給你自己出一道題，這是結(jié)合我們的課程改革。

　　詳細來說，“課程改革說明”里強調(diào)哪些東西？數(shù)學基礎(chǔ)能力的應用、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗。我們把它翻譯一下，其實就要求同學們，第一，一定要重視公式、定理以及課本上出現(xiàn)的推論的推導過程的基本原理，以及它的使用條件是什么。對同學提出了很多要求，比如要求梳理考試里的很多基礎(chǔ)題型、�？碱}型以及易錯題，包括不同知識模塊之間的綜合運用，這是對同學們在數(shù)學能力上提出來的要求。

　　再比如說，我們說“四能”。四能是什么呢？就是發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，比如今年新高考就出了解答題的第一題，還有分析和解決問題的能力。我們說具體一點，就是對于各位同學來說之后在復習的過程中我們要關(guān)注什么呢？比如說二次不等式里面，我們說個具體的例子，在高中數(shù)學中，二次不等式里面二次項系數(shù)是否能為零？它的兩個根一定會存在嗎？有沒有范圍？圓錐曲線里面到底什么時候需要把直線和曲線作連立，什么情況下用韋達定理。導數(shù)里面單調(diào)性和座位值的分類討論，我們什么時候看導函數(shù)的圖像，什么時候需要看語言函數(shù)的圖像。過往我們很多同學就死記硬背，我不知道你身邊有沒有這樣的家長或者說同事跟你反映，他們家孩子學習特別努力。

　　主持人：對，很努力，但是分數(shù)就是提高不了。

　　肖晗：對，就是成績特別穩(wěn)定。

　　主持人：但是沒有太高的提高，活學活用的能力。

　　肖晗：對。所以這個點，就是很多同學在之后復習過程中不要再去做這種死記硬背，我們?yōu)榱速N合課程改革，作業(yè)幫直播課這邊，我們自己一開始提到快數(shù)學課程體系，其實也是貼近高考改革的說明里面來的。索引我們一開始就有一個什么了？“高考考什么你就學什么”，高考考什么，我就給你講什么。

　　再比如我們說的核心素養(yǎng)當中有哪些呢？課程改革里面提到的，數(shù)學的抽象能力，什么叫抽象能力？比如我們剛剛聊到的全國卷里面那些新的題目情景，金字塔、天壇這些，我們能不能把它抽象成為數(shù)學里邊的知識點？比如說邏輯推理，比如立體幾何它的證明題，導數(shù)應用題，數(shù)學建模，直觀想象能力，數(shù)學運算能力，數(shù)據(jù)分析能力。你看這個數(shù)學運算能力其實就是我們剛剛給大家說的估算，就是數(shù)學建模問題里面的估算，估算新冠肺炎，還有疫情那種題，都屬于課程改革說明里面提到的。翻譯一下的話，對于同學們來說，就是提高了很多要求，我們希望大家對一道題里面你能找到多種不同的解法，能夠從不一樣的角度來切入。又或者我們希望同學們能夠去總結(jié)一下，多種題型解題方法都是相通的，這一點對高三來說很重要。因為高三滿打滿算就是一年的復習時間，還這么多學科，如果同學們還是只會死記硬背，這個對于提升成績不是一個特別好的方法。

　　主持人：時間根本是不夠用的。

　　肖晗：對的。所以我們看到很多同學天天熬夜，寫作業(yè)。所以我們一直跟同學們說，一定要有好的方法。詳細來看，既然高考卷，全國卷里面的命題是貼合新課程改革里面的，那整個試卷的風格是什么樣的？我們給大家總結(jié)一下，今年不管說是全國卷，還是新高考試卷，我們首當其沖的就是延續(xù)了過往高考題目的穩(wěn)定性，什么叫做穩(wěn)定性呢？就是這個題目出來之后不至于說讓你無從下手，但是它中間又會有很多的變化在里面，可能對于同學們綜合運用的能力，它又提升了一個臺階，比如今年出現(xiàn)了多選題。整體來說，我們用考試來得一個不錯的分數(shù)還可以，但是你要考高分，甚至沖刺滿分，對于你的數(shù)學能力要求是特別高的。它延續(xù)了我們過往的，根據(jù)今年同學們的反饋，簡單題、中檔題、難題分布的比例跟過往差不多，還是按照3：5：2的比例來分的。20%左右占的是難題，這種就是讓絕大部分同學做不了的。

　　主持人：我記得當年老師說你不用看那個20%了，你把80%完成就OK了。

　　肖晗：對，對于大部分同學來說我們拉分的點在哪兒呢？在中間的中檔題，就是占50%中檔題的位置。對應的還有創(chuàng)新突破，重視基礎(chǔ)，就是新高考里面整個題型分布的變化。包括重點考查加強數(shù)學綜合運用能力和建模能力的考查，這是這幾年高考題大熱點或者大趨勢。還比如說，整體命題的風格，這是剛剛給大家說到的。它其中會稍微有一些題型的變化，我們說穩(wěn)中有變，它是怎么變的呢？比如今年全國2卷里面把立體集合和圓錐曲線的位置互換了，我們過往一般來說，大家會認為高考試卷里面最后兩道題應該都是圓錐曲線或者是導數(shù)，但是今年在全國2卷里面稍微做了一下調(diào)整，就把立體幾何放到倒數(shù)第二必做題的位置，最后一個必做題跟過往的題目考查是一樣的。但是今年有一個小變化，也是全國2卷的，它最后一道題過往是考查導數(shù)，今年考查的不是一個倒數(shù)的問題，很多同學在今年考卷去關(guān)注的時候就覺得有點不太適應。但其實我們一直跟大家去強調(diào)的一個事，最后面那兩個題的位置它不管怎么調(diào)，它考查的一個方向或者考查的方式不會發(fā)生太大的變化，哪怕它把位置互換了，它重點考查的其實還是那么幾個知識板塊。所以我們就希望大家在考場里面你碰到這種小變化，我們就把它當做一個理所當然的，就很正常。

　　主持人：不用覺得很大驚小怪的。

　　肖晗：對。像2019高考題里面，當時很多同學參加全國高考的時候，全國1卷打開一看發(fā)現(xiàn)最后一道題突然變成了統(tǒng)計概率的問題，很多同學就慌了。因為過往的話，統(tǒng)計概率解答題是放在整個卷面上的第2題或第3題，然后2019年它突然放到最后一道必做題的位置，好多同學一看沒見過這么玩的，然后就開始慌。但其實那個題如果你的沉下心來想一想，它考查難度并沒有那么高，這是我們在這里希望同學們?nèi)プ⒁獾囊粋�點。

　　我們剛剛給大家總結(jié)的這幾個點，同學們可以看一下屏幕。不管是新高考還是全國卷來看，總體來說就是基本穩(wěn)定，但是在穩(wěn)定的過程里面它會有一些變化。重點考查同學們的數(shù)學思維或者數(shù)學運用能力，綜合運用能力的一個培養(yǎng)，重點還是在考查這個地方。同時也會鏈接到現(xiàn)實，比如疫情問題，在這個過程里面去滲透一些數(shù)學文化。

　　具體來看，我知道同學們肯定特別關(guān)注的，就是我們根據(jù)同學們的反饋，就給大家總結(jié)了一下這幾個表格。我們把2020年、2019年、2018年的題目，每一個知識模塊里面它考查分數(shù)的占比做了一個柱狀圖的表。同學們可以看一下，包括現(xiàn)在我們也能看得到，它依次的，藍色是2018年的，中間橙色是2019年，灰色是2020年的，我們看柱狀圖的分布，我們能看得到這幾年里面，考試的每一個知識模塊里面分值占比沒有太大變化的，這是全國1卷的。還有全國2卷，我們看全國2卷從整體來看也是大體相同的一個趨勢，這是我為什么跟大家說今年考試命題規(guī)律、命題特點上它就是突出一個“穩(wěn)中有變”。再比如說全國3卷，這個更整齊了。

　　主持人：對，基本沒有太大變化。

　　肖晗：對，就是從它的分值來看，同學們可以先給自己下一個定心丸。新課改的改革說明里面也特別強調(diào)，杜絕出現(xiàn)偏題、怪題的考查，同學們還是那句話“我們高考考什么，你就應該學什么”。我們接下來就帶著大家一起來看一下它今年詳細的考查了哪些題目，這是同學們比較關(guān)心的。這里先給大家說一下，我們用的技巧大招，覆蓋的整個卷面上，以全國卷為例，我們覆蓋了113分的題目。

　　主持人：這個很精準，就是把大招學好了，113分沒問題了。

　　肖晗：對，所以我們說快數(shù)學vv，我們希望同學們第一學習快，第二吸收快，第三得分快。當然我們在這里沒有統(tǒng)計哪些題目，比如高考里面的第一題，這種題太簡單了，這個考查基礎(chǔ)概念的，我們就沒有把它算到我們的技巧大招里面來。那這樣一看的話，全國1卷里面，我們快數(shù)學186大招體系就覆蓋了后面壓軸題幾乎所有的，選擇題的最后幾道，填空題最后幾道，解答題的最后幾道，我們根據(jù)同學們的反饋，我們把全國1卷給大家列了一下，第一是復數(shù)模長的，第二是幾何的，同學們比較關(guān)心的是第九同角三角函數(shù)速算的問題，第10題是口算外接球的問題，第11題是圓里面切線勾股關(guān)系的速算，第12題是選擇題最后一道題，就是指對數(shù)構(gòu)造函數(shù)的方法和技巧，其實都是在之前大招課程體系里面都給同學們?nèi)ブv過。詳細的每一道題目里面大概會有什么特點呢？我們帶著大家一起來看一下。

　　主持人：好，我們一起看一下。

　　肖晗：首先看這么一個題。這個題是我們今年全國1卷里面，就是理科選擇題的第11題，這里跟同學們說一下，因為時間關(guān)系，我們沒有辦法把所有試卷都給大家整理出來，所以我們以其中的一些題目作為代表給大家說一下。之前我們很多時候給同學們聊這些題目的時候，很多同學都特別關(guān)心，比如說我是浙江的，我是江蘇的，我是湖北的，我們考不考呢？我們剛剛給大家說到，你不管怎么考，它的知識點都是相通的。之前老有同學來問，我們之前還跟同學們開玩笑，比如像這道題，這是全國1卷理科第11題，考直線和圓的問題。我們當時跟同學們說，你把這個問題放到廣東來考，難道人家廣東老師就告訴你這個題是要來清蒸嗎？你放在四川，四川就告訴你這個題是要用來涮火鍋嗎？你還應該多加一點辣椒，它都是相通的，所以這里跟同學們說一下這個點。

　　比如說這個題，你單獨看下來，它給了一個圓的方程，后邊又給了一條直線方程。然后說點P是這個直線，還有動點，做了兩條切線，當滿足PM和AB最小的時候，求這個直線AB的方程。我們在這里沒有辦法給大家詳細來展開它每一步的解析過程，因為時間比較寶貴。這道題核心考查了什么呢？就是直線和圓的位置關(guān)系的問題。就是你得到這樣兩條切線之后，兩條切線，還有點P和圓心，兩個切點、點P和圓心它圍成這個四邊形，就是考查這樣一個切線的性質(zhì)。所以這個題，如果同學們夠機敏的話，兩個切點是AB，什么時候最小呢？當點P和圓心M，PM和AB垂直的時候這個距離就最小了。這個就變成考查兩條直線垂直，兩條斜率的乘積等于負1，我們就可以來解決這個問題了。

　　但如果按照常規(guī)方法來處理的話，我們剛才一直給大家強調(diào)的，高考數(shù)學現(xiàn)在真的是在綜合考查大家的綜合運用能力，我們特別強調(diào)一點“一題多解，多題一解”考查大家這樣的能力。如果大家只知道套最基本的方式來做計算等等，這個題會耗費大量的時間。像這種題，它為什么在高考里面會出現(xiàn)在第11題或者第10題的位置，這是特別有講究的，就是卡在這個題，比如有同學做到這里，一看這個題，計算量特別大，同學們心里上對后面的題就有一個預判，后面的題是不是也是計算量這么大呢？所以這里對同學們提出一個要求，就是千萬不要死記硬背，一定要多看一看這些題目里面有沒有一題多解或者說多題一解。在快數(shù)學課程體系的課堂上一直給大家強調(diào)這個事，因為它真的符合同學們數(shù)學能力的一個考查。

　　再比如說哪個題呢？2020年全國1卷第12題，我們剛剛看的是全國1卷的第11題，如果第11題同學們能夠很快知道它是在考查圓和直線的位置關(guān)系，垂直的時候它的乘積最小。接下來這個題對于很多同學來說它的難度也沒有那么高，這個題給了一個2的a次方，加上log2維底a的對數(shù)，等于4的b次方，加上2log的4維底b的對數(shù)。這里考查什么東西呢？核心考查的是導數(shù)或者指對數(shù)構(gòu)造函數(shù)的一個能力。它就需要同學們對于指對數(shù)里面基本的知識要了解的特別清楚。比如這個題目里面，同學們一看到，它兩邊是工整的，選項里面都是2b，它是比較a和2b的大小。。我們就可以考慮到4的b次方，4是2的平方，外邊又有一個b次方，我就可以得到4的2b次方，得到這個4的2b次放之后。你看4維底，我們可以把4寫成2的平方，然后提出來之后就變2維底b的對數(shù)。那后邊這里怎么變成2倍的b呢？加一個1。這個題就考查大家，你需要在后邊把它加一個1，然后就可以得到一個不等式。這里我們說到一個詳細的解題的方法，同學們可以不用先關(guān)注這個，可以等待一下我們后邊會給大家單獨出每一道題詳細的解析。

　　但是我們想跟大家說的是，你看現(xiàn)在這些題目整體考查的方向它不會出現(xiàn)特別難，特別偏的題，它考查的都是最基本里面的，也是我們一直在課堂上給同學們強調(diào)的就是多個模塊知識點綜合在一塊之后你能不能馬上想到這個。

　　主持人：肖老師一點評，一解析，就發(fā)現(xiàn)這個題通過技巧很容易會換算出來，不需要用大量的時間去進行換算。

　　肖晗：對。類似這種題我們之前在快數(shù)學的課程上給同學們講過很多，今年我們自己班上的同學參加高考他們應該會是比較開心的。

　　主持人：練習到了，學習的很有用。

　　肖晗：對。因為我們一直在給同學們強調(diào)，如果是站在高考這個角度，咱們想考一個更好的分數(shù)，我們應該注重高考考什么你就學什么。比較好的一個狀態(tài)，你參加高考的時候就發(fā)現(xiàn)這些題我們都提前預想過，這是一個比較好的狀態(tài)，不管它的題目怎么變化，我們說萬變不離其宗，就是心中有那么一棵松樹，我們就挺立在那兒，不管你怎么變，我們還是在考這個，這個題是全國1卷的。這個題目它考查的是一個指對數(shù)的運算，運用指對數(shù)函數(shù)來構(gòu)造函數(shù)來處理它，如果能知道怎么來構(gòu)造，這個題能很快解決掉。

　　再比如說這個題，這是全國2卷的，文科的第12題。我相信現(xiàn)在同學們把這道題和全國1卷這個題把它一對比，這個題在全國2卷理科考試題里面是放在選擇題的第11題的位置。這兩個題把它一類比就特別像，包括這個題目長得那個樣子都特別像。這兩個題它考查的知識點是相通的，所以你看又回到我們一開始給大家說的那個問題，就是今年的高考題“穩(wěn)中有變”，我們重點還是在考查關(guān)于多個知識模塊不同數(shù)學知識它們綜合運用的能力，甚至我們說這個題處理方法跟剛剛那個題都是很類似的，這是我們一開始給大家說的，大招技巧押中了113分的題目。去掉那個簡單分，就是集合第一題、第二題這幾個題的位置，基本上整個卷面上的大部分題都有了。

　　主持人：120分以上沒問題了。

　　肖晗：對。這是為什么我說我自己參加高考的時候，1小時20分鐘左右考完，然后就在考場里面睡覺，就準備第二天早上的理綜考試。

　　主持人：肖老師真的太厲害了。

　　肖晗：所以我們給大家說的，因為當時我是靠自己去總結(jié)了很多的東西，高考本身它就不是一個來為難你的，就是讓你做不出來題目的，高考命題老師抱的心態(tài)也不是我就讓你哭。

　　主持人：孩子們都不容易。

　　肖晗：它還是更全面、更綜合去考查同學們各方面的素養(yǎng)，這是我們現(xiàn)在的命題。我們再往下看這個題，全國1卷的題，這個題我們放在這里來給同學們來說，它是填空題里面第2題的位置，我們剛剛給大家強調(diào)一個事，就叫做一題多解或者多題一解。這個題對于不同的同學來說，我們是可以用不同的方法來處理它，好多同學碰到這個問題，考慮兩個向量是單位向量，模長為1，A+B的模長也是1，用最基本的方法平方來處理，就是用最基本的計算，就是我們所說的猛算法。就是我們剛剛說的，現(xiàn)在高考的命題，你用不同方法來處理你都可以來得分，但如果你的數(shù)學綜合能力更強，對于數(shù)學不同知識模塊下綜合的考查你設(shè)想的更多，這個題其實也可以很快做出來。

　　什么叫做單位向量？模長等于1。我們還在課堂上老跟同學們強調(diào)很多遍，就是向量里面，兩個向量相加和兩個相量相減是可以構(gòu)成三角形，這就變成了a、b單位向量長度是1，第三條邊a+b長度也是1，它變成了等邊三角形，它就直接變成一個等邊三角形的問題，之后這個題就可以直接解掉了。這就是我們剛剛給大家說的，高考里面技巧、方法它真的是有很多規(guī)律在里面的。為什么給大家說這個題呢？因為這個題對應過來，我們在全國2卷里面有一個類似的題，所以我覺得今年的題目特別有意思，2020年全國2卷理科的第15題，這個題它對應的是在考試里邊天空題的倒數(shù)第2個題，它這里考的是復數(shù)的一個問題，兩個復數(shù)的模長等于2，這兩個復數(shù)相互等于根號3+i，求z1-z2的模長。主持人，我不知道您看的話，這兩個題其實它的出題方式很正像。

　　主持人：對。

　　肖晗：給了a+b，后面讓你求a-b，這里就變成z1-z2，所以這個題它這里考查的是一個什么東西呢？這個題為什么出現(xiàn)在填空題倒數(shù)第二題的位置，和我們剛才說選擇題第10題、第11題出現(xiàn)那幾個題的位置特別像。出現(xiàn)在這兒，如果同學們只會用常規(guī)方法來算，那我估摸著這道題在高考考場里面算10分鐘都算不出來。

　　主持人：就是大量時間用在這一題上。

　　肖晗：對，這就是命題老師為什么來做選拔人才，如果你只會猛算，你使勁算，你可以得分。但是如果說對于數(shù)學的綜合能力更強的同學，他可能馬上就能想得到什么呢？這個題如果把它看成是兩個向量，它對應的也就是z1、z2這兩個向量模長等于2，跟剛剛?cè)珖?卷那個題是類似的，那兩個單位向量a、b模長等于1，只不過這里變成等于2，后邊給了一個z1+z2，它等于根號3+i，如果用復數(shù)的這個模長公式，就是我們數(shù)學上的，算出來也會發(fā)現(xiàn)z1+z2的模長等于2。所以這兩道題特別有意思。全國2卷這個題里面給到的，就是這三個模長是等于2，其實還是等邊三角形的問題。

　　主持人：一樣的解題方法。

　　肖晗：對，一樣的解題方法。但是這個題增加了一個維度的考查，就是需要同學們能夠把這個復數(shù)把它拓展或者把它抽象到向量的問題里面。所以同學們，我們一開始給大家強調(diào)，現(xiàn)在課程改革里面強調(diào)了同學們你們對于數(shù)學抽象問題能力的一個考查，這就是一個活生生的例子。

　　再比如說，我們給同學們做繼續(xù)往下看。今年全國1卷理科第17題，考查了一個數(shù)列的問題，這個題我相信對于我們大部分同學來說它應該就是一個比較常規(guī)的考查方式，因為這種題但凡是上過高中數(shù)學的同學，這種題我們都練了很多遍的。但是這個題我想給大家強調(diào)一個點，它考查什么呢？它考查數(shù)學里面的一個叫做錯位相減法，這個錯位相減法計算量特別大，而且特別容易出錯。計算量一大，高考本來就緊張，手一抖算錯了。這個題不在高考里面的話，平時同學們自己寫作業(yè)的時候計算量也都特別大，特別容易出錯。

　　但這里我們會給大家總結(jié)一個什么東西呢？就是用我們剛剛說到的大招技巧在里面，就是我們剛剛在里面強調(diào)的，就是你一定要會總結(jié)一題多解或者多解一題。數(shù)學里面也強調(diào)，同學們對于數(shù)學模型，我們在數(shù)學里面很多問題，我們都可以把它抽象成為一個基本的公式或者基本的規(guī)律在里面。這個題如果使用之前給很多同學們講過的蘋果公式，這個蘋果公式是什么呢？時間關(guān)系我們不做詳細展開。這個蘋果公式來處理的話，剛剛我自己還在那里看，這個題從頭到尾在答題卡上寫出來所有的步驟，包括最后結(jié)果算出來，不會超過5分鐘，基本上用不到什么技巧。

　　主持人：我給大家證實一下，剛才肖老師在化妝間里面算題，每一道題都算的很快。

　　肖晗：對，剛剛化妝的小姐姐給我化妝的時候我還在那里算呢。

　　主持人：對。

　　肖晗：化妝小姐姐都已經(jīng)無語了。今年考查的一定是你見過的，我們跟同學們說一句話，高考題如果考查題目是你沒見過的，那樣問題才大呢，所以高考里面它考查的很多題目都是同學們平時見過的題。

　　再比如說，同學們比較關(guān)注的，我們剛剛給大家講到，其實每年的全國卷，和新高考試卷里面，放在解答題最后兩道題的位置，通常出現(xiàn)解析幾何或者說導數(shù)，因為這兩道題的綜合能力要求比較高，而且思維邏輯鏈也比較長。但其實我們來看今年的全國1卷，我們以全國1卷為例，今年全國1卷考查的問題也都很常規(guī)，還是剛剛說的那句話，考查的題目一定是同學們平時見過的。

　　這個題要把第一問做出來，求橢圓方程，利用題干給的向量AG和向量GB的數(shù)量積等于8，利用這個條件就算兩步，稍微做一下計算，就可以把第一問算出來。第二問考查過定點的問題，這個題目里面過定點基本上是我們高中數(shù)學里面必定會講到最基本的模型，就是定點問題。它給的點A和點B分別是橢圓的左右兩個頂點，點P在另外一條直線上，PA和橢圓交一個點為點C，PB和橢圓交一個點是點D，求證直線CD過這個定點。所以還是那句話，如果說你要使用常規(guī)方法來做，把這兩條直線方程算出來，直線PA方程求解出來，直線PD的方正表示出來，然后和橢圓連立，把點C、點D坐標算出來，我們也是可以做計算的。這樣的話，邏輯鏈比較長，計算量比較大。所以我們還是回到剛剛說的那個點，就是高考一定會讓每位同學都能得分，但是你要得高分，這個對你的數(shù)學能力要求就會比較高。這個題我為什么特別強調(diào)呢？用之前給同學們總結(jié)的技巧大招里面的方法，這個題也是可以很快做出來的，這是關(guān)于圓錐曲線解析幾何這個題。

　　最后一個題，就是我們卷面上的最后一道必做題，每年同學們都特別關(guān)注。今年全國1卷里面的這個題，考查相對比較常規(guī)的，今年高考的同學看到這個題的時候其實應該會覺得心態(tài)比較穩(wěn)，比較平穩(wěn)。因為這個題，基本上屬于我剛才說的，只要你是高中數(shù)學，你一定會做到類似這樣的題。這個題第一問就是給一個A等于1的時候，一個最普通的討論這個函數(shù)的單調(diào)性，第二問是告訴我們X大于等于0的時候，證明后面這個不等式成立，求這個A的取值范圍。這個問題屬于我們在導數(shù)這個問題里面特別常見的。

　　第一種方法，要不然就考慮把參變分離，把參數(shù)A給它單獨獨立出來，然后再來求解它的最大值、最小值。第二我們要不然就把它做一個兩次的求導，也就可以把它解出來。所以這個題相對是比較常規(guī)的，對于同學們來說，不至于同學們拿到這道題無從下手，滿腦子都在想你到底在考什么，你在干嗎。我們剛才一直強調(diào)穩(wěn)中有變，但是大部分題目我們都是有規(guī)律在里面可以遵循的，這也是我們在新課程改革里面對同學們提出的一個能力的要求。我們剛剛說的數(shù)學建模，數(shù)學分析，數(shù)學邏輯，對同學們提出這方面的要求。

　　我們剛剛給同學們講過一個事，什么事呢？說到一個題，就是今年全國2卷題型上有一個小變化。第一全國2卷里面把圓錐曲線和立體幾何順序顛倒了，就是立體幾何變成了倒數(shù)第題。第二今年全國2卷里面最后一個必做題，就是整套試卷上最難的一道題目，過往一般都是考查導數(shù)，但是今年變了。很多同學看到這個題，第一反應還是要來求導，但其實這個題并不是，它頂多就是第一問里面你可以用求導的方法來判斷它的單調(diào)性。但是后面的第二問和第三問，是在考查同學們關(guān)于不等式，尤其是高中數(shù)學里面必學的均值不等式的一個運用。它第二問要使用均值不等式來做，這個題第二問也可以很快做出來。

　　第三個題同樣的，結(jié)合了我們數(shù)列里邊累乘法來做了一個考察。雖然說今年在題型上稍微有點變化，因為過往是考察導數(shù)，今年它在這個位置上沒有考察導數(shù)。其實這個題目反映出來的東西是符合課程改革里邊的要求，對于同學們數(shù)學能力上的要求。

　　這個題，有興趣的同學，尤其是備考明年高考的同學可以嘗試一下。第二問、第三問使用均值不等式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，你可以來證明一下，難度沒有我們想象中的那么高。

　　這是整個今年試卷上反映出來的現(xiàn)在比較典型的，大家討論比較多的熱點題，還有大家在試卷上比較關(guān)心的，比如中檔題、難題，它到底怎么來考、怎么來命題。大概今天的時間關(guān)系只能給大家說到這兒。

　　主持人：今天肖晗老師講，我發(fā)現(xiàn)用“快數(shù)學”的大招可以很輕松地解決這個題，雖然這些題對于沒有大招學習過的同學比較難。但是接下來還是有一part要給準高三學生一些建議。剛才下午場的語文老師娜娜說他們還有三天就是高三了，好緊張。肖晗老師說起碼到下個月，還給緩緩的日子。對他們來說時間已經(jīng)不多了，三天以后高考全部結(jié)束，高二的學生真的就變成高三的學生了。

　　肖晗：對�？赡芎芏嗤瑢W會等到下個月才會覺得自己是高三。是因為很多同學現(xiàn)在還在放假，其實我們想跟同學們強調(diào)這么一件事，哪怕你現(xiàn)在放假待在家里，高三應該是你現(xiàn)在、立刻、馬上就要開始準備的一件事。我們一直強調(diào)新課程改革對同學們在數(shù)學能力上的要求其實比過往是要求更高的，其實數(shù)學能力包括哪些呢？廣一點還包括你的學習能力。比如說全國二卷今年的這些題，居然在這里考察了把導數(shù)、函數(shù)、均值不等式、數(shù)列里的累乘法做了一個綜合的問題�，F(xiàn)在新課程改革之后，對于同學總結(jié)題型、總結(jié)規(guī)律，我們一直強調(diào)的多題一解、一題多解，這方面的能力要求其實是更高的。

　　高三時間本來就緊張，建議大家如果想考慮做高三復習，哪怕等到下個月學校才開學，才正式通知你返校，但其實你現(xiàn)在在家里面也應該開始準備。

　　主持人：由于今年的大環(huán)境的影響，在家上直播課已經(jīng)成為常態(tài)了，不分你到不到校，你有一點時間你都可以利用網(wǎng)課的時間增加一下自己的數(shù)學知識。

　　肖晗：對。我們在這里給備考明年高考的同學，到了明年的時候，我們會有更多的省份加入新高考。從今天我們給大家分析的東西來看，新高考雖然題型的分布，加入了多選題，還加入了多填空，一題多空。解答題里第一問變成了創(chuàng)新題，但其實在每一個題型、每一個知識板塊的考察方向上是沒有什么變化的。對于我們未來新高三的同學來說，我們?nèi)绾蝸碜龈呷�的復習呢�?br />
　　第一，我們說一下很多家長和同學的誤區(qū)。很多同學認為我在學校里面使勁刷題、使勁做題，買一大堆的資料，使勁熬夜，成績一定能提升。其實不是。今天一直跟大家說的是新高考改變了這個方向，其實更多強調(diào)的是同學對于你的綜合能力的要求。我記得反正在我參加高考那個年代，還沒什么“維納斯”，也沒什么“金字塔”，也沒有今年的“鋼琴”，我想到貝多芬的《月光奏鳴曲》。

　　主持人：咱們那個時候高考的時候題干特別簡單，一目了然，你做就行了。

　　肖晗：那個時候我會做題就可以了�，F(xiàn)在除了會做題，而且做題快之外，對同學多了很多數(shù)學的實際應用的能力，還有總結(jié)題目、歸納規(guī)律的能力，提了很多要求在里邊。如果還是按照之前使勁地熬夜刷題刷題，其實你刷一百道題真的不如自己好把這一類型的題研究透徹。這是現(xiàn)在我們對大家提出來的要求。

　　在高三有限的時間里邊，我們要比的是學習效率的高低，知識點盲點的占比，還有在高中數(shù)學各個不同知識模塊之間，深度上和廣度上的綜合。我們需要提前去設(shè)想這些東西，像全國II卷的最后一道題，看著考察導數(shù)，但其實是把函數(shù)、導數(shù)、數(shù)列全都綜合在一塊兒了，它對我們提出來這樣一個要求。

　　我們今天一直跟大家說“高考考什么，你們就應該學什么”。我們真的希望每位同學多注重這些方面能力的提升，等到明年大家去高考的時候是最好的狀態(tài)，不是到了考場里發(fā)現(xiàn)“我的天，這個題我沒見過，我怎么不會做？命題老師，你考到了我的盲區(qū)，我不會做。”我們希望在高考里有這樣一個心態(tài)，看到試卷之后，高考考什么，你就學到什么，這樣對大家是一個比較好的狀態(tài)。

　　至于說怎么來復習，“快數(shù)學”課程體系一直在根據(jù)我們課程改革或者是高考改革的方向一直在做調(diào)整。第二，我們給大家總結(jié)很多題型，在一輪復習里，我們建議大家把基礎(chǔ)知識打扎實，尤其是到了高三的時候，因為高一、高二，各位同學還是分模塊地學習，比如一開始的集合，后面又單獨學的函數(shù)，再后面又學了三角函數(shù)、數(shù)列、立體幾何等等，它是一個獨立、割裂開的板塊。到了高三，我們應該重視什么呢？不同知識模塊之間會怎么做交叉，這是我們需要去注意的。在一輪復習里把這個搞定之后，到了二輪復習的時候，我們就要重點去看一看每一類題型怎么來考察，它有哪些技巧和方法在里邊，這些題目的適用范圍是多少，有沒有比較快捷的技巧、大招之類的。像今天跟大家說的，如果真的把這個東西研究透徹了，其實對于高考，比如全國I卷里，去掉那些簡單題不說，有將近113分甚至120分左右的題，其實都是在這個范圍里面的。

　　三輪復習的時候，希望大家關(guān)注的是命題的動向，根據(jù)2020年所有的試卷出來以后，（根據(jù)）它整個命題規(guī)律的變化、命題趨勢的走向，我們可以針對性地做一下復習，彌補一下自己的漏洞。

　　整體來說，給大家總結(jié)一下，在一輪復習里希望同學們一定要注重主干知識的梳理，重視基礎(chǔ)知識，側(cè)重通法的講解，做到“真的一題通了百題都通”，而不是天天在那里熬夜刷題、刷試卷。二輪復習的時候注意什么呢？梳理一下考法。人家會怎么考察你，會怎么把不同的知識模塊做一下綜合。再比如它對應的還有哪些通用的答題的方法，或者是有技巧、大招。因為學會了這個，我們不僅能解題，等于我們通法也跟大家講，你能解題了。如果再加上給大家講的技巧、方法，保證大家在高考里還要解題快。

　　主持人：這一點很關(guān)鍵，因為要把很多時間留在更困難的題上。

　　肖晗：對，因為高考兩個小時，22道題。像試卷上出現(xiàn)的第10、11、15題，這些真的是冷不丁在這里考一道題給你，用常規(guī)方法特別復雜，你的整個心態(tài)就會特別緊張。

　　主持人：因為后邊就沒有多少時間寫了。

　　肖晗：對，它就壓縮了你后邊做解答題的時間。

　　到了第三輪復習的時候，我們就需要去深化一下高中數(shù)學里邊各個知識模塊的數(shù)學的實際應用能力，它和我們不同的生活場景結(jié)合的能力，還有對應的各個地方它今年命題規(guī)律的變化，大概會有哪些走向，結(jié)合今年的熱點。

　　這是我們給大家的一個建議。

　　主持人：其實今天我們已經(jīng)快速地利用一個多小時的時間跟大家一起來解析了2020年數(shù)學題，而且也送出來了很多建議，就是我們新高三的同學們在備考復習的時候要注意一些什么。

　　我們今天的節(jié)目特別感謝“名師有大招，解題更有效的”作業(yè)幫直播課的肖晗老師能夠來到我們的節(jié)目。

　　作業(yè)幫直播課累計用戶超8億，在線教育引領(lǐng)者。

　　今天也很晚了，特別要感謝一直收看我們節(jié)目的家長和同學們，明天有新的科目要考了，雖然數(shù)學考完了，作為數(shù)學老師的肖晗老師能不能再送出一些祝福？

　　肖晗：跟同學們說一下，大家一定要記好，到現(xiàn)在還守候在屏幕前邊聽我們給大家講今年高考解讀的同學和家長，真的都挺不容易的。我們干這個行業(yè)，見過很多同學和家長，中國的學生和家長，我們毫不吝嗇地說一句“他們就是最努力的家長還有同學”，真的特別特別努力。所以，我們跟大家說，明天大家要考綜合科目還有英語科目，我們根據(jù)數(shù)學科目來看，大家可以放心，明天我們的綜合科目還有英語科目也不會說有太困難或者特別偏、特別難的情況出現(xiàn)，高考考的一定都是同學們在平時見過的題。所以，今天的科目已經(jīng)考完了，數(shù)學就可以放在一邊了，我作為數(shù)學老師，接下來就會退到幕后，真的要跟很多同學說再見。像剛剛您說到的很多同學可能之后從此上了大學就不會再學數(shù)學這個學科。不管你上了大學之后要不要學數(shù)學，起碼在高中這個階段，你暫時可以把語文、數(shù)學都拋到一邊了，我們做的事情，我作為一個考了700多分的人，我會把我所有的能力都祈禱加注到你們明天的考試上。

　　主持人：肖晗老師說今天晚上你就要退居幕后了，不，還有新高三的同學在等著你，只是現(xiàn)在應屆的考生暫時先要和您說再見，但是新高三的小伙伴們還繼續(xù)等待著你，因為2021年的高考在等待著他們。

　　今天我們的節(jié)目到此就暫告一個段落了，明天我們的作業(yè)幫直播課還會有理綜科目的解析等待著你，我們明天不見不散。再見！

　　肖晗：拜拜！