競(jìng)賽專(zhuān)題講座－平面幾何四個(gè)重要定理

四個(gè)重要定理：

梅涅勞斯(Menelaus)定理（梅氏線）

△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線上有點(diǎn)P、Q、R，則P、Q、R共線的充要條件是 。

塞瓦(Ceva)定理（塞瓦點(diǎn)）

△ABC的三邊BC、CA、AB上有點(diǎn)P、Q、R，則AP、BQ、CR共點(diǎn)的充要條件是。

托勒密(Ptolemy)定理

四邊形的兩對(duì)邊乘積之和等于其對(duì)角線乘積的充要條件是該四邊形內(nèi)接于一圓。

西姆松(Simson)定理（西姆松線）

從一點(diǎn)向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點(diǎn)落在三角形的外接圓上。

例題：

1．　 設(shè)AD是△ABC的邊BC上的中線，直線CF交AD于F。求證：。

【分析】CEF截△ABD→（梅氏定理）

【評(píng)注】也可以添加輔助線證明：過(guò)A、B、D之一作CF的平行線。

2．　 過(guò)△ABC的重心G的直線分別交AB、AC于E、F，交CB于D。

求證：。

【分析】連結(jié)并延長(zhǎng)AG交BC于M，則M為BC的中點(diǎn)。

DEG截△ABM→（梅氏定理）

DGF截△ACM→（梅氏定理）

∴===1

【評(píng)注】梅氏定理

3．　 D、E、F分別在△ABC的BC、CA、AB邊上，

，AD、BE、CF交成△LMN。

求S_△LMN。

【分析】

【評(píng)注】梅氏定理

4．　 以△ABC各邊為底邊向外作相似的等腰△BCE、△CAF、△ABG。求證：AE、BF、CG相交于一點(diǎn)。

【分析】

【評(píng)注】塞瓦定理

5． 已知△ABC中，∠B=2∠C。求證：AC²=AB²+AB·BC。

【分析】過(guò)A作BC的平行線交△ABC的外接圓于D，連結(jié)BD。則CD=DA=AB，AC=BD。

由托勒密定理，AC·BD=AD·BC+CD·AB。

【評(píng)注】托勒密定理

6． 已知正七邊形A₁A₂A₃A₄A₅A₆A₇。

求證：。（第21屆全蘇數(shù)學(xué)競(jìng)賽）

【分析】

【評(píng)注】托勒密定理

7． △ABC的BC邊上的高AD的延長(zhǎng)線交外接圓于P，作PE⊥AB于E，延長(zhǎng)ED交AC延長(zhǎng)線于F。

求證：BC·EF=BF·CE+BE·CF。

【分析】

【評(píng)注】西姆松定理（西姆松線）

8． 正六邊形ABCDEF的對(duì)角線AC、CE分別被內(nèi)分點(diǎn)M、N分成的比為AM：AC=CN：CE=k，且B、M、N共線。求k。（23-IMO-5）

【分析】

【評(píng)注】面積法

9． O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，分別以d_a、d_b、d_c表示O到BC、CA、AB的距離，以R_a、R_b、R_c表示O到A、B、C的距離。

求證：（1）a·R_a≥b·d_b+c·d_c;　　

(2) a·R_a≥c·d_b+b·d_c;

(3) R_a+R_b+R_c≥2(d_a+d_b+d_c)。

【分析】

【評(píng)注】面積法

10．△ABC中，H、G、O分別為垂心、重心、外心。

求證：H、G、O三點(diǎn)共線，且HG=2GO。（歐拉線）

【分析】

【評(píng)注】同一法

11．△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，BM、BN三等分∠ABC，與AD相交于M、N，延長(zhǎng)CM交AB于E。

求證：MB//NE。

【分析】

【評(píng)注】對(duì)稱(chēng)變換

12．G是△ABC的重心，以AG為弦作圓切BG于G，延長(zhǎng)CG交圓于D。求證：AG²=GC·GD。

【分析】

【評(píng)注】平移變換

13．C是直徑AB=2的⊙O上一點(diǎn)，P在△ABC內(nèi)，若PA+PB+PC的最小值是，求此時(shí)△ABC的面積S。

【分析】

【評(píng)注】旋轉(zhuǎn)變換

費(fèi)馬點(diǎn)：已知O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB=∠BOC=∠COA=120°；P是△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，求證：PA+PB+PC≥OA+OB+OC。（O為費(fèi)馬點(diǎn)）

【分析】將CC‘，OO’， PP‘，連結(jié)OO’、PP‘。則△B OO’、△B PP‘都是正三角形。

∴OO’=OB，PP‘ =PB。顯然△BO’C‘≌△BOC，△BP’C‘≌△BPC。

由于∠BO’C‘=∠BOC=120°=180°-∠BO’O，∴A、O、O‘、C’四點(diǎn)共線。

∴AP+PP‘+P’C‘≥AC’=AO+OO‘+O’C‘，即PA+PB+PC≥OA+OB+OC。

14．(95全國(guó)競(jìng)賽) 菱形ABCD的內(nèi)切圓O與各邊分別交于E、F、G、H，在弧EF和弧GH上分別作⊙O的切線交AB、BC、CD、DA分別于M、N、P、Q。　　　

求證：MQ//NP。

【分析】由AB∥CD知：要證MQ∥NP，只需證∠AMQ=∠CPN，

結(jié)合∠A=∠C知，只需證

△AMQ∽△CPN

←，AM·CN=AQ·CP。

連結(jié)AC、BD，其交點(diǎn)為內(nèi)切圓心O。設(shè)MN與⊙O切于K，連結(jié)OE、OM、OK、ON、OF。記∠ABO=φ，∠MOK=α，∠KON=β，則

∠EOM=α，∠FON=β，∠EOF=2α+2β=180°-2φ。

∴∠BON=90°-∠NOF-∠COF=90°-β-φ=α

∴∠CNO=∠NBO+∠NOB=φ+α=∠AOE+∠MOE=∠AOM

又∠OCN=∠MAO，∴△OCN∽△MAO，于是，

∴AM·CN=AO·CO

同理，AQ·CP=AO·CO。

【評(píng)注】

15．(96全國(guó)競(jìng)賽)⊙O₁和⊙O₂與ΔABC的三邊所在直線都相切，E、F、G、H為切點(diǎn)，EG、FH的延長(zhǎng)線交于P。求證：PA⊥BC。

【分析】

【評(píng)注】

16．(99全國(guó)競(jìng)賽)如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC平分∠BAD。在CD上取一點(diǎn)E，BE與AC相交于F，延長(zhǎng)DF交BC于G。求證：∠GAC=∠EAC。

證明：連結(jié)BD交AC于H。對(duì)△BCD用塞瓦定理，可得

因?yàn)锳H是∠BAD的角平分線，由角平分線定理，

可得，故。

過(guò)C作AB的平行線交AG的延長(zhǎng)線于I，過(guò)C作AD的平行線交AE的延長(zhǎng)線于J。

則，

所以，從而CI=CJ。

又因?yàn)镃I//AB，CJ//AD，故∠ACI=π-∠BAC=π-∠DAC=∠ACJ。

因此，△ACI≌△ACJ，從而∠IAC=∠JAC，即∠GAC=∠EAC。

已知AB=AD，BC=DC，AC與BD交于O，過(guò)O的任意兩條直線EF和GH與四邊形ABCD的四邊交于E、F、G、H。連結(jié)GF、EH，分別交BD于M、N。求證：OM=ON。（5屆CMO）

證明：作△EOH△E’OH‘，則只需證E’、M、H‘共線，即E’H‘、BO、GF三線共點(diǎn)。

記∠BOG=α，∠GOE’=β。連結(jié)E‘F交BO于K。只需證=1（Ceva逆定理）。

===1

注：箏形：一條對(duì)角線垂直平分另一條對(duì)角線的四邊形。

對(duì)應(yīng)于99聯(lián)賽2：∠E’OB=∠FOB，且E‘H’、GF、BO三線共點(diǎn)。求證：∠GOB=∠H‘OB。

事實(shí)上，上述條件是充要條件，且M在OB延長(zhǎng)線上時(shí)結(jié)論仍然成立。

證明方法為：同一法。

蝴蝶定理：P是⊙O的弦AB的中點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)引⊙O的兩弦CD、EF，連結(jié)DE交AB于M，連結(jié)CF交AB于N。求證：MP=NP。

【分析】設(shè)GH為過(guò)P的直徑，F(xiàn)F’F，顯然‘∈⊙O。又P∈GH，∴PF’=PF。∵PFPF‘，PAPB，∴∠FPN=∠F’PM，PF=PF‘。

又FF’⊥GH，AN⊥GH，∴FF‘∥AB。∴∠F’PM+∠MDF‘=∠FPN+∠EDF’

=∠EFF‘+∠EDF’=180°，∴P、M、D、F‘四點(diǎn)共圓。∴∠PF’M=∠PDE=∠PFN。

∴△PFN≌△PF‘M，PN=PM。

【評(píng)注】一般結(jié)論為：已知半徑為R的⊙O內(nèi)一弦AB上的一點(diǎn)P，過(guò)P作兩條相交弦CD、EF，連CF、ED交AB于M、N，已知OP=r，P到AB中點(diǎn)的距離為a，則。（解析法證明：利用二次曲線系知識(shí)）