高二數(shù)學(xué)必修3第一章重難點(diǎn)：古典概型

　　高二數(shù)學(xué)必修3第一章重難點(diǎn)：古典概型

　　古典概型的基本概念

　　1.基本事件：在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的每一個(gè)基本結(jié)果稱為基本事件;

　　2.等可能基本事件：若在一次試驗(yàn)中，每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性都相同，則稱這些基本事件為等可能基本事件;

　　3.古典概型：滿足以下兩個(gè)條件的隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型稱為古典概型 ①所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè); ②每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等;

　　4.古典概型的概率：如果一次試驗(yàn)的等可能基本事件共有n個(gè)，那么每一個(gè)等可能基本事件發(fā)生的概率都是

　　1，如果某個(gè)事件A包含了其中m個(gè)等可能基本事件，那么事件A發(fā)生的概率為nP(A)?m. n

　　知識點(diǎn)一：古典概型的基本概念

　　例1：從字母a,b,c,d中任意取出兩個(gè)不同字母的試驗(yàn)中，有哪些基本事件? 思路分析：

　　題意分析：本試題考查一次試驗(yàn)中用列舉法列出所有基本事件的結(jié)果，而畫樹狀圖是列舉法的基本方法.

　　解題思路：為了了解基本事件，我們可以按照字典排序的順序，把所有可能的結(jié)果都列出來.或者利用樹狀圖將它們之間的關(guān)系列出來. 解答過程：解法一：所求的基本事件共有6個(gè)：

　　A?{a,b},B?{a,c},C?{a,d}D?{b,c},E?{b,d},F?{c,d}

　　解法二：樹狀圖

　　解題后的思考：用樹狀圖求解一次試驗(yàn)中的基本事件數(shù)比較直觀、形象，可做到不重不漏.掌握列舉法，學(xué)會用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想解決概率的計(jì)算問題.

　　例2：(1)向一個(gè)圓面內(nèi)隨機(jī)地投射一個(gè)點(diǎn)，如該點(diǎn)落在圓內(nèi)任意一點(diǎn)都是等可能的，你認(rèn)為這是古典概型嗎?為什么?

　　(2)如圖，某同學(xué)隨機(jī)地向一靶心射擊，這一試驗(yàn)的結(jié)果只有有限個(gè)：命中10環(huán)、命中9環(huán)??命中5環(huán)和不中環(huán).你認(rèn)為這是古典概型嗎?為什么?

　　思路分析：

　　題意分析：本題考查古典概型的概念.應(yīng)明確什么是古典概型及其應(yīng)具備什么樣的條件. 解題思路：結(jié)合古典概型的兩個(gè)基本特征可進(jìn)行判定解決. 解答過程：

　　答：(1)不是古典概型，因?yàn)樵囼?yàn)的所有可能結(jié)果是圓面內(nèi)所有的點(diǎn)，試驗(yàn)的所有可能結(jié)果數(shù)是無限的，雖然每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的“可能性相同”，但這個(gè)試驗(yàn)不滿足古典概型的第一個(gè)條件.

　　(2)不是古典概型，因?yàn)樵囼?yàn)的所有可能結(jié)果只有7個(gè)，而命中10環(huán)、命中9環(huán)??命中5環(huán)和不中環(huán)的出現(xiàn)不是等可能的，即不滿足古典概型的第二個(gè)條件.

　　解題后的思考：判定是不是古典概型，主要看兩個(gè)方面，一是實(shí)驗(yàn)結(jié)果是不是有限的;另一個(gè)就是每個(gè)事件是不是等可能的.

　　例3：單選題是標(biāo)準(zhǔn)化考試中常用的題型，一般是從A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)正確答案.如果考生掌握了考查的內(nèi)容，他可以選擇唯一正確的答案.假設(shè)考生不會做，他隨機(jī)的選擇一個(gè)答案，問他答對的概率是多少? 思路分析：

　　題意分析：本題考查古典概型概率的求解運(yùn)算.

　　解題思路：解本題的關(guān)鍵，即討論這個(gè)問題什么情況下可以看成古典概型.如果考生掌握了全部或部分考查內(nèi)容，這都不滿足古典概型的第2個(gè)條件——等可能性，因此，只有在假定考生不會做，隨機(jī)地選擇了一個(gè)答案的情況下，才可將此問題看作古典概型.

　　解答過程：這是一個(gè)古典概型，因?yàn)樵囼?yàn)的可能結(jié)果只有4個(gè)：選擇A、選擇B、選擇C、選擇D，即基本事件共有4個(gè)，考生隨機(jī)地選擇一個(gè)答案是選擇A，B，C，D的可能性是相等的.從而由古典概型的概率計(jì)算公式得：

　　P(答對\答對所包含的基本事件的個(gè)數(shù)1==0.25

　　基本事件的總數(shù)4解題后的思考：運(yùn)用古典概型的概率公式求概率時(shí)，一定要先判定該試題是不是古典概型，然后明確試驗(yàn)的總的基本事件數(shù)，和事件A發(fā)生的基本事件數(shù)，再借助于概率公式運(yùn)算. 小結(jié)：本知識點(diǎn)的例題主要考查對古典概型及其概率概念的基本理解.把握古典概型的兩個(gè)特征是解決概率問題的第一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn);理解一次試驗(yàn)中的所有基本事件數(shù)，和事件A發(fā)生的基本事件數(shù)，是解決概率問題的第二個(gè)關(guān)鍵點(diǎn).

　　知識點(diǎn)二：古典概型的運(yùn)用

　　例4：同時(shí)擲兩個(gè)骰子，計(jì)算： (1)一共有多少種不同的結(jié)果?

　　(2)其中向上的點(diǎn)數(shù)之和是5的結(jié)果有多少種? (3)向上的點(diǎn)數(shù)之和是5的概率是多少?

　　(4)為什么要把兩個(gè)骰子標(biāo)上記號?如果不標(biāo)記號會出現(xiàn)什么情況?你能解釋其中的原因嗎? 思路分析：

　　題意分析：本題考查了古典概型的基本運(yùn)算問題.

　　解題思路：先分析“同時(shí)擲兩個(gè)骰子的所有事件數(shù)”，然后分析事件A：向上的點(diǎn)數(shù)之和為5的基本事件數(shù)，最后結(jié)合概率公式運(yùn)算.同時(shí)可以運(yùn)用舉一反三的思想自行設(shè)問、解答.

　　解答過程：

　　解：(1)擲一個(gè)骰子的結(jié)果有6種，我們把兩個(gè)骰子標(biāo)上記號1，2以便區(qū)分，由于1號骰子的結(jié)果都可與2號骰子的任意一個(gè)結(jié)果配對，我們用一個(gè)“有序?qū)崝?shù)對”來表示組成同時(shí)擲兩個(gè)骰子的一個(gè)結(jié)果(如表)，其中第一個(gè)數(shù)表示擲1號骰子的結(jié)果，第二個(gè)數(shù)表示擲2號骰子的結(jié)果.(可由列表法得到) 1號骰子2號骰子1(1，1)(2，1)(3，1)(4，1)(5，1)(6，1)2(1，2)(2，2)(3，2)(4，2)(5，2)(6，2)3(1，3)(2，3)(3，3)(4，3)(5，3)(6，3)4(1，4)(2，4)(3，4)(4，4)(5，4)(6，4)5(1，5)(2，5)(3，5)(4，5)(5，5)(6，5)6(1，6)(2，6)(3，6)(4，6)(5，6)(6，6)123456 由表中可知同時(shí)擲兩個(gè)骰子的結(jié)果共有36種. (2)在上面的結(jié)果中，向上的點(diǎn)數(shù)之和為5的結(jié)果有4種，分別為： (1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)

　　(3)由于所有36種結(jié)果是等可能的，其中向上點(diǎn)數(shù)之和為5的結(jié)果(記為事件A)有4種，因此，由古典概型的概率計(jì)算公式可得

　　P(A)=A所包含的基本事件的個(gè)數(shù)41==

　　基本事件的總數(shù)369(4)如果不標(biāo)上記號，類似于(1，2)和(2，1)的結(jié)果將沒有區(qū)別.這時(shí)，所有可能的結(jié)果將是：

　　(1，1)(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)(1，6)(2，2)(2，3)(2，4)(2，5)(2，6)(3，3)(3，4)(3，5)(3，6)(4，4)(4，5)(4，6)(5，5)(5，6)(6，6)共有21種，和是5的結(jié)果有2個(gè)，它們是(1，4)(2，3)，則所求的概率為

　　P(A)=A所包含的基本事件的個(gè)數(shù)2=

　　基本事件的總數(shù)21這就需要我們考察兩種解法是否滿足古典概型的要求了.可以通過展示兩個(gè)不同的骰子所拋擲出來的點(diǎn)，感受第二種方法構(gòu)造的基本事件不是等可能事件.

　　解題后的思考：考查同學(xué)們運(yùn)用古典概型的概率計(jì)算公式時(shí)應(yīng)注意驗(yàn)證所構(gòu)造的基本事件是否滿足古典概型的第二個(gè)條件.

　　對于同時(shí)拋擲的問題，我們要將骰子編號，因?yàn)檫@樣就能反映出所有的情況，不至于把(1，2)和(2，1)看作相同的情況，保證基本事件的等可能性.我們也可將此試驗(yàn)通過先后拋擲來解決，這樣就有順序了，則基本事件的出現(xiàn)也是等可能的.

　　例5：從含有兩件正品a1，a2和一件次品b1的三件產(chǎn)品中，每次任取一件，每次取出后不放回，連續(xù)取兩次，求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率. 思路分析：

　　題意分析：本題考查的是不放回抽樣的古典概型概率的運(yùn)用

　　解題思路：首先注意到該題中取出的過程是有順序的.同時(shí)明白一次試驗(yàn)指的是“不放回的，連續(xù)的取兩次”.

　　先列舉出試驗(yàn)中的所有基本事件數(shù)，然后求事件A的基本事件數(shù)，利用概率公式求解. 解答過程：

　　解法1：每次取出一個(gè)，取后不放回地連續(xù)取兩次，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有6個(gè)，即(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2).其中小括號內(nèi)左邊的字母表示第1次取出的產(chǎn)品，右邊的字母表示第2次取出的產(chǎn)品.

　　用A表示“取出的兩件中，恰好有一件次品”這一事件，則 A=[(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)] 事件A由4個(gè)基本事件組成，因而P(A)=

　　42= 63解法2：可以看作不放回3次無順序抽樣，先按抽取順序(x，y)記錄結(jié)果，則x有3種可能，y有2種可能，但(x，y)，(y，x)是相同的，所以試驗(yàn)的所有結(jié)果有3×2÷2=3種，按同樣的方法，事件B包含的基本事件個(gè)數(shù)為2×1÷1=2，因此P(B)=

　　2 3解題后的思考：關(guān)于不放回抽樣，計(jì)算基本事件的個(gè)數(shù)時(shí)，既可以看作是有順序的，也可以看作是無順序的，其結(jié)果是一樣的，但無論選擇哪一種方式，觀察的角度必須一致，否則會導(dǎo)致錯(cuò)誤.

　　例6：從含有兩件正品a1，a2和一件次品b1的三件產(chǎn)品中，每次任取一件，每次取出后放回，連續(xù)取兩次，求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率. 思路分析：

　　題意分析：本題考查放回抽樣的概率問題.

　　解題思路：首先注意到該題中取出的過程是有順序的.同時(shí)明白一次試驗(yàn)指的是“有放回的，連續(xù)的取兩次”.

　　解答過程：每次取出一個(gè)后放回，連續(xù)取兩次，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有9個(gè)，即

　　(a1，a1)，(a1，a2)和(a1，b1) (a2，a1)，(a2，b1)和(a2，a2) (b1，a1)，(b1，a2)和(b1，b1)

　　其中小括號內(nèi)左邊的字母表示第1次取出的產(chǎn)品，右邊的字母表示第2次取出的產(chǎn)品. 用A表示“取出的兩件中，恰好有一件次品”這一事件，則 A=[(b1，a1)，(b1，a2)，(a2，b1)，(a1，b1)] 事件A由4個(gè)基本事件組成，因此P(A)=

　　4. 9解題后的思考：對于有放回抽樣的概率問題我們要理解每次取的時(shí)候，總數(shù)是不變的，且同一個(gè)體可被重復(fù)抽取，同時(shí)，在求基本事件數(shù)時(shí)，要做到不重不漏. 小結(jié)：

　　(1)古典概型概率的計(jì)算公式是非常重要的一個(gè)公式，要深刻體會古典概型的概念及其概率公式的運(yùn)用，為我們學(xué)好概率奠定基礎(chǔ).

　　(2)體會求解不放回和有放回概率的題型.

　　知識點(diǎn)三：隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生的方法及隨機(jī)模擬試驗(yàn)的步驟

　　例7：某籃球愛好者，做投籃練習(xí)，假設(shè)其每次投籃命中的概率是40%，那么在連續(xù)三次投籃中，恰有兩次投中的概率是多少? 思路分析：

　　題意分析：本題考查的是近似計(jì)算非古典概型的概率.

　　解題思路：其投籃的可能結(jié)果有有限個(gè)，但是每個(gè)結(jié)果的出現(xiàn)不是等可能的，所以不能用古典概型的概率公式計(jì)算，我們用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器做模擬試驗(yàn)可以模擬投籃命中的概率為40%. 解答過程：

　　我們通過設(shè)計(jì)模擬試驗(yàn)的方法來解決問題，利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器可以生產(chǎn)0到9之間的取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù).

　　我們用1，2，3，4表示投中，用5，6，7，8，9，0表示未投中，這樣可以體現(xiàn)投中的概率是40%.因?yàn)槭峭痘@三次，所以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)作為一組.

　　例如：產(chǎn)生20組隨機(jī)數(shù)：

　　812，932，569，683，271，989，730，537，925，488 907，113，966，191，431，257，393，027，556，458

　　這就相當(dāng)于做了20次試驗(yàn)，在這組數(shù)中，如果恰有兩個(gè)數(shù)在1，2，3，4中，則表示恰有兩次投中，它們分別是812，932，271，191，393，即共有5個(gè)數(shù)，我們得到了三次投籃中恰有兩次投中的概率近似為解題后的思考：

　　(1)利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器做隨機(jī)模擬試驗(yàn)，可以解決非古典概型的概率的求解問題. (2)對于上述試驗(yàn)，如果親手做大量重復(fù)試驗(yàn)的話，花費(fèi)的時(shí)間太多，因此利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器做隨機(jī)模擬試驗(yàn)可以大大節(jié)省時(shí)間.

　　(3)隨機(jī)函數(shù)(RANDBETWEEN)(a，b)產(chǎn)生從整數(shù)a到整數(shù)b的取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù).

　　小結(jié)：能夠簡單的體會模擬試驗(yàn)求解非古典概型概率的方法和步驟.高考對這部分內(nèi)容不作更多的要求，了解即可.5=25%. 20