2025年高考數(shù)學(xué)線性規(guī)劃知識(shí)要點(diǎn)

　　簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題是高考的熱點(diǎn)之一，是歷年高考的必考內(nèi)容，主要以填空題的形式考查最優(yōu)解的最值類問題的求解，高考的命題主要圍繞線性規(guī)劃知識(shí)要點(diǎn)有以下幾個(gè)方面：

　　(1) 常規(guī)的線性規(guī)劃問題，即求在線性約束條件下的最值問題;

　　(2) 與函數(shù)、平面向量等知識(shí)結(jié)合的最值類問題;

　　(3) 求在非線性約束條件下的最值問題;

　　(4) 考查線性規(guī)劃問題在解決實(shí)際生活、生產(chǎn)實(shí)際中的應(yīng)用.而其中的第(2)(3)(4)點(diǎn)往往是命題的創(chuàng)新點(diǎn)。

　　【例1】 設(shè)函數(shù)f(θ)=?3?sin?θ+??cos?θ，其中，角θ的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)?P(x,y)?，且0≤θ≤?π?。

　　(1) 若點(diǎn)P的坐標(biāo)為12,32，求f(θ)的值;

　　(2) 若點(diǎn)P(x,y)為平面區(qū)域Ω：x+y≥1,x≤1,y≤1。 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定角θ的取值范圍，并求函數(shù)f(θ)的最小值和最大值。

　　分析 第(1)問只需要運(yùn)用三角函數(shù)的定義即可;第(2)問中只要先畫出平面區(qū)域Ω，再根據(jù)抽畫出的平面區(qū)域確定角θ的取值范圍，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求f(θ)=a?sin?θ+b?cos?θ型函數(shù)的最值。

　　解 (1) 由點(diǎn)P的坐標(biāo)和三角函數(shù)的定義可得?sin?θ=32，?cos?θ=12。

　　于是f(θ)=3?sin?θ+??cos?θ=?3×32+12=2。

　　(2) 作出平面區(qū)域Ω (即三角形區(qū)域ABC)如圖所示，其中A(1,0)，B(1,1)，?C(0,1)?.于是0≤θ≤?π?2,

　　又f(θ)=3?sin?θ+?cos?θ=2?sin?θ+?π?6，

　　且?π?6≤θ+??π?6≤?2?π?3，

　　故當(dāng)θ+?π?6=?π?2，即θ=?π?3時(shí)，f(θ)取得最大值，且最大值等于2;

　　當(dāng)θ+?π?6=?π?6，即θ=0時(shí)，f(θ)取得最小值，且最小值等于1。

　　點(diǎn)評(píng) 本題中的最大的亮點(diǎn)在于以解答題的形式將線性規(guī)劃中的基礎(chǔ)內(nèi)容平面區(qū)域與三角函數(shù)的求值進(jìn)行了的有機(jī)綜合，過去歷年高考對(duì)線性規(guī)劃考查中并不多見。

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