高考數(shù)學(xué)：集合與常用邏輯的復(fù)習(xí)

　　集合

　　1.集合的含義與表示

　�。�1）了解集合的含義、元素與集合的屬于關(guān)系

　　（2）能用自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、集合語(yǔ)言（列舉法或描述法）描述不同的具體問(wèn)題。

　　2.集合間的基本關(guān)系

　�。�1）理解集合之間包含于相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集

　�。�2）在具體的情境中，了解全集與空集的含義

　　3.集合的基本運(yùn)算

　�。�1）理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的并集與交集

　�。�2）理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，會(huì)求給定子集的補(bǔ)集

　�。�3）能使用韋恩圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算

　　常用邏輯用語(yǔ)

　　1.命題及其關(guān)系

　�。�1）理解命題的概念

　�。�2）了解“若p，則q”形式的命題及其逆命題、否命題、與逆否命題，會(huì)分析四種命題的相互關(guān)系

　�。�3）理解必要條件、充分條件與充要條件的意義

　　2.簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞

　　了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義

　　3.全稱(chēng)量詞與存在量詞

　�。�1）理解全稱(chēng)量詞和存在量詞的含義

　　（2）能正確地對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定

　　考題分析

　　高考對(duì)集合的考查主要集中在集合的運(yùn)算與集合間關(guān)系的判定與應(yīng)用，常用邏輯用語(yǔ)考查知識(shí)面十分廣泛，可以涵蓋函數(shù)、立體幾何、不等式、向量、三角函數(shù)等內(nèi)容。考查的形式多為選擇題，難度不大，但需掌握基本知識(shí)與方法。

　　集合的概念與表示

　　集合是數(shù)學(xué)中一個(gè)基本概念，是近現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本的內(nèi)容之一，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域具有無(wú)可比擬的特殊重要性。在數(shù)學(xué)的《課標(biāo)》中，要求學(xué)生掌握理解集合的概念，知道常用數(shù)集的概念及表示方法。

　　集合的概念

　　1.集合：一般地我們把一些能夠確定的不同對(duì)象的全體稱(chēng)為集合（簡(jiǎn)稱(chēng)集）；

　　集合通常用大寫(xiě)的拉丁字母表示，如A、B、C、……。

　　2.元素：集合中每個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素，元素通常用小寫(xiě)的拉丁字母表示，如a、b、c、……。

　　元素與集合的關(guān)系

　　1.屬于：如果a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于A，記作a∈A

　　2.不屬于：如果a不是集合A的元素，就說(shuō)a不屬于A，記作 3、集合分類(lèi)根據(jù)集合所

　　集合中元素的特性

　　1.確定性：給定一個(gè)集合，任何對(duì)象是不是這個(gè)集合的元素是確定的了。

　　任何一個(gè)元素要么屬于該集合，要么不屬于該集合，二者必具其一。

　　2.互異性：集合中的元素一定是不同的。

　　3.無(wú)序性：集合中的元素沒(méi)有固定的順序。

　　集合的分類(lèi)

　　根據(jù)所含元素個(gè)數(shù)不同，可把集合分為如下幾類(lèi)：

　　1.把不含任何元素的集合叫做空集Ф

　　2.含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集

　　3.含有無(wú)窮個(gè)元素的集合叫做無(wú)限集

　　常用數(shù)集及其表示方法

　　1.非負(fù)整數(shù)集（自然數(shù)集）：全體非負(fù)整數(shù)的集合，記作N 。

　　2.正整數(shù)集：非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集，記作N*或N+ 。

　　3.整數(shù)集：全體整數(shù)的集合，記作Z 。

　　4.有理數(shù)集：全體有理數(shù)的集合，記作Q 。

　　5.實(shí)數(shù)集：全體實(shí)數(shù)的集合，記作R。

　　集合間的基本關(guān)系

　　集合是數(shù)學(xué)中的一個(gè)基本概念，由一個(gè)或多個(gè)確定的元素所構(gòu)成的整體叫做集合，若x是集合A的元素，則記作x∈A。

　　集合與集合的關(guān)系有“包含”與“不包含”，“相等”三種：

　　1.子集概念：

　　一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，就說(shuō)集合B包含A，記作A ?B（或說(shuō)A包含于B）；

　　也可記為B ?A（B包含A），此時(shí)說(shuō)A是B的子集；A不是B的子集，記作A ?

　　B，讀作A不包含于B。

　　2.集合相等：

　　對(duì)于集合A和B，如果集合A中的每一個(gè)元素都是集合B的元素，反過(guò)來(lái)，集合B的每一個(gè)元素也都是集合A的元素，即集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，我么就說(shuō)集合A和集合B相等，記作A=B。

　　3.真子集：

　　對(duì)于集合A與B，如果A?B并且A≠B，則集合A是集合B的真子集，記作A?B（B?A），讀作A真包含于B（B真包含A）。

　　集合間基本關(guān)系

　　1.性質(zhì)1：

　�。�1）空集是任何集合的子集，即A；

　�。�2）空集是任何非空集合的真子集；

　�。�3）傳遞性：A?B，B?C?A?C；A?B，B?C?A?C

　　（4）集合相等：A?B，B?A?A=B

　�。�5）含n個(gè)元素的集合A的子集有2n個(gè)，非空子集有2n-1個(gè)，非空真子集有2n-2個(gè)。

　　命題

　　命題分類(lèi)亞里士多德在《工具論》，特別是其中的《范疇篇》中，研究了命題的不同形式及其相互關(guān)系，根據(jù)形式的不同對(duì)命題的不同類(lèi)型進(jìn)行了分類(lèi)。亞里士多德把命題首先分為簡(jiǎn)單的和復(fù)合的兩類(lèi)，但他對(duì) 復(fù)合命題并沒(méi)有深入探討。他進(jìn)而把簡(jiǎn)單命題按質(zhì)分為肯定的和否定的，按量分為全稱(chēng)、特稱(chēng)和不定的命題，例如，"愉快不是善"。他還提到個(gè)體命題，這相當(dāng)于后來(lái)所謂的以專(zhuān)名為主項(xiàng)、以普遍概念為 謂項(xiàng)的單稱(chēng)命題。

　　亞里士多德著重討論了后人以A、E、I、O為代表的4種命題。他所舉出的例子是："每個(gè)人是白的"；"沒(méi)有人是白的"；"有人是白的"；"并非每個(gè)人是白的"。關(guān)于 模態(tài)命題，他討論了必然、不可能、可能和偶然這 4個(gè)模態(tài)詞。亞里士多德所說(shuō)的模態(tài)，是指事件發(fā)生的必然性、可能性等。

　　亞里士多德以后的邏輯學(xué)家，如泰奧弗拉斯多、 麥加拉學(xué)派和 斯多阿學(xué)派的邏輯學(xué)家，以及中世紀(jì)的邏輯學(xué)家等，又對(duì)包含有命題聯(lián)結(jié)詞"或者"、"并且"、"如果，則"等的復(fù)合命題進(jìn)行了不斷的探討，從而豐富了邏輯學(xué)關(guān)于命題的學(xué)說(shuō)。

　　傳統(tǒng)邏輯分類(lèi)

　　19世紀(jì)下半葉歐洲邏輯讀本對(duì)命題的分類(lèi)不盡一致。大體說(shuō)來(lái)，按關(guān)系即按命題主謂項(xiàng)之間的關(guān)系分，有 直言命題、 假言命題（后件主謂項(xiàng)的聯(lián)系以前件為條件）和 選言命題（謂項(xiàng)之間對(duì) 主項(xiàng)有選擇關(guān)系）。從質(zhì)的角度分，有肯定命題和否定命題。從量的角度分，有全稱(chēng)命題，包括單稱(chēng)命題、普遍命題（凡S是P）和 特稱(chēng)命題。

　　這些讀本還討論了其他一些關(guān)于數(shù)量多少的命題，如涉及"多數(shù)"、"少數(shù)"之類(lèi)的命題；并認(rèn)為，"多數(shù) S是P"等值于"少數(shù)S不是P"，"少數(shù) S是P"等值于"多數(shù)S不是P"。因此，從"所有S是P"推不出"多數(shù)S是P",也推不出"少數(shù)S是P"。這些傳統(tǒng)邏輯讀本在討論選言命題時(shí)，也往往論及 聯(lián)言命題、分離命題（非A并且非B）等。另外，還有一類(lèi)可解析命題也是常常提到的。在這類(lèi)命題中，有一種叫區(qū)別命題，其形式為"只有S才是P"；還有一種叫除外命題，其形式為"除是M的S外每個(gè)S是P"。

　　命題的四種形式

　　1．對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和 結(jié)論分別是另外一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題，其中一個(gè)命題叫做原命題，另外一個(gè)命題叫做原命題的 逆命題。

　　2．對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另外一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定，那么這兩個(gè)命題叫做互否命題，其中一個(gè)命題叫做原命題，另外一個(gè)命題叫做原命題的 否命題。

　　3．對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另外一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否定，那么這兩個(gè)命題叫做互為逆否命題，其中一個(gè)命題叫做 原命題，另外一個(gè)命題叫做原命題的 逆否命題。

　　相互關(guān)系

　　1.四種命題的相互關(guān)系：原命題與逆命題互逆，否命題與原命題互否，原命題與逆否命題相互逆否，逆命題與否命題相互逆否，逆命題與逆否命題互否，逆否命題與否命題互逆。

　　2.四種命題的真假關(guān)系：

　�。�1）兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性。

　�。�2）兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒(méi)有關(guān)系(原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假）

　�。�3）能夠判斷真假的 陳述句叫做命題，正確的命題叫做 真命題，錯(cuò)誤的命題叫做 假命題。

　�。�4）“若p，則q”形式的命題中p叫做命題的 條件，q叫做命題的 結(jié)論。

　　3.命題的分類(lèi)：

　�、僭�命題：一個(gè)命題的本身稱(chēng)之為原命題，如：若x>1，則f（x）=(x-1)^2單調(diào)遞增。

　�、� 逆命題：將原命題的條件和結(jié)論顛倒的新命題，如：若f（x）=(x-1)^2單調(diào)遞增，則x>1。

　�、� 否命題：將原命題的條件和

　　結(jié)論全否定的新命題，但不改變條件和結(jié)論的順序，如：若x<=1，則f（x）=(x-1)^2不單調(diào)遞增。

　�、� 逆否命題：將原命題的條件和結(jié)論顛倒，然后再將條件和結(jié)論全否定的新命題，如：若f（x）=(x-1)^2不單調(diào)遞增，則x<=1。

　　4.命題的否定命題的否定是只將命題的結(jié)論否定的新命題，這與否命題不同。

　　邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”

　　或（∨）

　　1.用聯(lián)結(jié)詞“或”把p與q聯(lián)結(jié)起來(lái)稱(chēng)為一個(gè)新命題，記作p∨q，讀作“p或q”。

　　2.命題p∨q的真假的判定：

　　當(dāng)兩個(gè)命題p和q其中有一個(gè)是真命題時(shí)，形成的新命題p或q就是真命題。

　　當(dāng)兩個(gè)命題p和q都是假命題時(shí)，形成的新命題p或q就是假命題。

　　且（∧）

　　1.用聯(lián)結(jié)詞“且”把p與q聯(lián)結(jié)起來(lái)稱(chēng)為一個(gè)新命題，記作p∧q，讀作“p且q”。

　　2.命題p∧q的真假的判定：

　　當(dāng)兩個(gè)命題p和q都是真命題時(shí)，形成的新命題p且q就是真命題。

　　如果兩個(gè)命題p和q其中有一個(gè)是假命題，形成的新命題p且q就是假命題。

　　非（┐）

　　1.對(duì)于一個(gè)命題p如果僅將它的結(jié)論否定，就得到一個(gè)新命題，記作┐p，讀作“非p”。

　　2.命題┐p的真假的判定：

　　在命題和他的非命題中，有一個(gè)且只有一個(gè)是真命題。

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