高三模擬文科數(shù)學(xué)試題之函數(shù)及其表示

　　高三模擬文數(shù)試題專題函數(shù)匯編之函數(shù)及其表示含解析

　　一、解答題(本大題共46小題，共552.0分)

　　1.已知函數(shù)f（x）=lg（2+x）+lg（2-x）

　�。�1）求函數(shù)f（x）的定義域；

　�。�2）記函數(shù)g（x）=10f（x）+2x，求函數(shù)g（x）的值域．

　　2.設(shè)函數(shù)f（x）是增函數(shù)，對(duì)于任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．

　�。�1）求f（0）；

　�。�2）證明f（x）奇函數(shù)；

　�。�3）解不等式 f（x2）-f（x）＞ f（3x）．

　　3.已知實(shí)數(shù)a＜0，函數(shù) ．

　�。�1）設(shè) ，求t的取值范圍；

　�。�2）將f（x）表示為t的函數(shù)h（t）；

　　（3）若函數(shù)f（x）的最大值為g（a），求g（a）．

　　4.已知函數(shù)f（x）是定義在[-e，0]∪（0，e]上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈[-e，0）時(shí)，有f（x）=ax-ln（-x）（其中e為自然對(duì)數(shù)的底，a∈R）．

　�。�1）求函數(shù)f（x）的解析式．

　　（2）試問是否存在實(shí)數(shù)a，使得當(dāng)x∈（0，e]時(shí)，f（x）的最大值是2？如果存在，求出實(shí)數(shù)a的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

　　5.已知函數(shù)

　　（1）求函數(shù)f（x）的定義域．

　�。�2）若函數(shù)f（x）＜0，求x得取值范圍．

　　6.已知函數(shù)f（x）= ，且f（-2）=3，f（-1）=f（1）．

　�。á瘢┣骹（x）的解析式，并求f（f（-2））的值；

　�。á颍┱�(qǐng)?jiān)诮o定的直角坐標(biāo)系內(nèi)，利用"描點(diǎn)法"畫出y=f（x）的大致圖象．

　　7.已知函數(shù)f（x）= + ，

　　（1）求f（x）的定義域；

　�。�2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性．

　　8.今有一長(zhǎng)2米寬1米的矩形鐵皮，如圖，在四個(gè)角上分別截去一個(gè)邊長(zhǎng)為x米的正方形后，沿虛線折起可做成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體形水箱（接口連接問題不考慮）．

　　（Ⅰ）求水箱容積的表達(dá)式f（x），并指出函數(shù)f（x）的定義域；

　�。á颍┤粢�使水箱容積不大于4x3立方米的同時(shí)，又使得底面積最大，求x的值．

　　9.二次函數(shù)f（x）的最小值為1，且f（0）=f（4）=3．

　�。�1）求f（x）的解析式；

　　（2）若f（x）在區(qū)間[2a，3a+1]上單調(diào)，求a的取值范圍．

　　10.函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)的解析式為f（x）=

　�。�1）求f（-1）的值；

　�。�2）用定義證明f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；

　　（3）求當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)的解析式．

　　11.已知f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），且滿足f（4）=1，對(duì)任意x1，x2（0，+∞），都有f（x1ox2）=f（x1）+f（x2），當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）＜0．

　�。�1）求f（1）；

　�。�2）證明f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；

　　（3）解不等式f（3x+1）+f（2x-6）≤3．

　　12.已知函數(shù)f（x），g（x）滿足關(guān)系g（x）=f（x）of（x+a），其中a是常數(shù)．

　　（1）若f（x）=cosx+sinx，且a= ，求g（x）的解析式，并寫出g（x）的遞增區(qū)間；

　�。�2）設(shè)f（x）=2x+ ，若g（x）的最小值為6，求常數(shù)a的值．

　　13.已知函數(shù)f（x）=xm- ，且f（4）=3．

　�。�1）求m的值；

　�。�2）求f（x）的奇偶性．

　　14.已知函數(shù)f（x）= ．

　�。↖）求f（0），f（1）；

　�。↖I）求f（x）值域．

　　15.某種商品每件進(jìn)價(jià)9元，售價(jià)20元，每天可賣出69件．若售價(jià)降低，銷售量可以增加，且售價(jià)降低x（0≤x≤11）元時(shí)，每天多賣出的件數(shù)與x2+x成正比．已知商品售價(jià)降低3元時(shí)，一天可多賣出36件．

　�。á瘢┰噷⒃撋唐芬惶斓匿N售利潤(rùn)表示成x的函數(shù)；

　�。á颍┰撋唐肥蹆r(jià)為多少元時(shí)一天的銷售利潤(rùn)最大？

　　16.若0滿足f（f（x0）=x0但f（x0）≠x0，則x0為f（x）的階周期點(diǎn)函數(shù)有僅有兩個(gè)二階周期點(diǎn)，并二階周點(diǎn)，x2；

　　當(dāng)a= 時(shí)，求ff（ ））；

　　對(duì)于中x1，2，設(shè)（x1f（f（x1），B（x2，f（fx2）））C（a2，，記△ABC面積為s求s區(qū)[ ， ]上的大和最小值．

　　17.如圖，△OAB是邊長(zhǎng)為2的正三角形，記△OAB位于直線x=t（t＞0）左側(cè)的圖形的面積為f（t）．試求函數(shù)f（t）的解析式，并畫出函數(shù)y=f（t）的圖象．

　　18.已知函數(shù)f（x）=loga（x-1），g（x）=loga（6-2x）（a＞0且a≠1）．

　　（1）求函數(shù)φ（x）=f（x）+g（x）的定義域；

　�。�2）試確定不等式f（x）≤g（x）中x的取值范圍．

　　19.某上市股票在30天內(nèi)每股的交易價(jià)格P（元）與時(shí)間t（天）組成有序數(shù)對(duì)（t，P），點(diǎn)（t，P）落在圖中的兩條線段上（如圖）．該股票在30天內(nèi)（包括第30天）的日交易量Q（萬(wàn)股）與時(shí)間t（天）的函數(shù)關(guān)系式為Q=40-t（0≤t≤30且t∈N）．

　�。�1）根據(jù)提供的圖象，求出該種股票每股的交易價(jià)格P（元）與時(shí)間t（天）所滿足的函數(shù)關(guān)系式；

　�。�2）用y（萬(wàn)元）表示該股票日交易額（日交易額=日交易量×每股的交易價(jià)格），寫出y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求出這30天中第幾天日交易額最大，最大值為多少．

　　20.已知y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且x＜0時(shí)，f（x）=1+2x

　�。�1）求函數(shù)f（x）的解析式；

　�。�2）畫出函數(shù)f（x）的圖象；

　�。�3）寫出函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間及值域．

　　21.已知函數(shù)f（x）= 的定義域?yàn)榧�合A，函數(shù)g（x）= 的定義域?yàn)榧�合B．

　　（1）求集合A、B；

　　（2）若A∩B=A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

　　22.（理）已知函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=2．

　　（1）求f（ ）和f（ ）+f（ ）（n∈N*）的值；

　�。�2）數(shù)列f（x）滿足an=f（0）+f（ ）+f（ ）+…+f（ ）+f（1），（n∈N*）求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；

　　（3）bn= ，Sn= ，Tn=b12+b22+b32+…+bn2，試比較Tn與Sn的大�。�

　　23.已知函數(shù)y=f（x）滿足以下條件：①定義在正實(shí)數(shù)集上；②f（ ）=2；③對(duì)任意實(shí)數(shù)t，都有f（xt）=tof（x）（x∈R+）．

　　（1）求f（1），f（ ）的值；

　�。�2）求證：對(duì)于任意x，y∈R+，都有f（xoy）=f（x）+f（y）；

　�。�3）若不等式f（loga（x-3a）-1）-f（-  ）≥-4對(duì)x∈[a+2，a+ ]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

　　24.定義在R上的函數(shù)f（x）既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若f（x）的最小正周期是π，且當(dāng) 時(shí)，f（x）=sinx

　�。�1）求當(dāng)x∈[-π，0]時(shí)f（x）的解析式

　�。�2）畫出函數(shù)f（x）在[-π，π]上的函數(shù)簡(jiǎn)圖

　　（3）求當(dāng) 時(shí)，x的取值范圍．

　　25.已知f（x）是二次函數(shù)，其函數(shù)圖象經(jīng)過（0，2），y=f（x+1）當(dāng)x=0時(shí)取得最小值1．

　�。�1）求f（x）的解析式．

　�。�2）求f（x）在[k，k+1]上的最小值．

　　26.已知a∈R，函數(shù)f（x）=x|x-a|．

　�。á瘢┊�(dāng)a=2時(shí)，作出圖形并寫出函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；

　�。á颍┊�(dāng)a=-2時(shí)，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間 的值域；

　　（Ⅲ）設(shè)a≠0，函數(shù)f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，請(qǐng)分別求出m、n的取值范圍（用a表示）．

　　27.設(shè)函數(shù)f（x）=x+ （x∈（-∞，0）∪（0，+∞））的圖象為c1，c1關(guān)于點(diǎn)A（2，1）的對(duì)稱圖象為c2，c2對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g（x）．

　�。�1）求函數(shù)g（x）的解析式，并確定其定義域；

　　（2）若直線y=b與c2只有一個(gè)交點(diǎn)，求b的值，并求出交點(diǎn)坐標(biāo)．

　　28.定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）滿足：對(duì)任意的m，n∈R有f（m+n）=f（m）of（n），且當(dāng)x≥0時(shí)，有0＜f（x）＜1，f（4）= ．

　�。�1）求f（0）的值；

　　（2）證明：f（x）＞0在R上恒成立；

　　（3）證明：f（x）在R上是減函數(shù)；

　�。�4）若x＞0時(shí)，不等式f（x+ax）＞f（2+x2）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

　　29.已知：函數(shù)f（x）=lg（1-x）+lg（p+x），其中p＞-1

　�。�1）求f（x）的定義域；

　　（2）若p=1，當(dāng)x∈（-a，a]其中a∈（0，1），a是常數(shù)時(shí)，函數(shù)f（x）是否存在最小值，若存在，求出f（x）的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

　　30.某房地產(chǎn)公司要在荒地ABCDE上劃出一塊矩形地面DRPQ建造一幢公寓．

　�。á瘢┣筮匒B所在的直線的方程；

　�。á颍﹩柸绾卧O(shè)計(jì)才能使公寓占地面積最大？并求出最大面積．

　　31.已知函數(shù)f（x）=log2[1+2x+ao（4x+1）]

　�。�1）a=-1時(shí)，求函數(shù)f（x）定義域；

　�。�2）當(dāng)x∈（-∞，1]時(shí)，函數(shù)f（x）有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

　�。�3）a=- 時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象與y=x+b（0≤x≤1）無(wú)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

　　32.已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且x≤0時(shí)，f（x）=log （-x+1）

　�。�1）求f（3）+f（-1）

　　（2）求函數(shù)f（x）的解析式；

　　（3）若f（a-1）＜-1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

　　33.已知函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞減，且滿足f（xoy）=f（x）+f（y），f（2）=1，

　　（1）求f（1）的值；

　�。�2）解不等式f（-x）+f（3-x）≥2．

　　34.已知y=f（x）是定義在[-6，6]上的奇函數(shù)，它在[0，3]上是一次函數(shù)，在[3，6]上是二次函數(shù)，當(dāng)x∈[3，6]時(shí)，f（x）≤f（5）=3，又f（6）=2．

　�。�1）求y=f（x）的解析式；

　　（2）若f（x）-a2-4a≥0恒成立，求a的取值范圍．

　　35.定義域在R的單調(diào)函數(shù)f（x）滿足f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），且f（3）=6，

　�。á瘢┣骹（0），f（1）；

　�。á颍┡袛嗪瘮�(shù)f（x）的奇偶性，并證明；

　　（Ⅲ）若對(duì)于任意 都有f（kx2）+f（2x-1）＜0成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

　　36.已知函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，且f（xy）=f（x）+f（y），

　�。�1）求f（1）的值；

　�。�2）若f（ ）=-1，求滿足f（x）-f（ ）≥2的x的取值范圍．

　　37.在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的邊上有動(dòng)點(diǎn)M，從點(diǎn)B開始，沿折線BCDA向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離為x，△ABM的面積為S．

　�。�1）求函數(shù)S=f（x）的解析式、定義域和值域；

　�。�2）求f[f（3）]的值．

　　38.定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：

　�、賔（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy；

　�、� ．

　�。�1）求 的值；

　�。�2）若函數(shù)g（x）= ，求函數(shù)g（x）的最大值．

　　39.已知函數(shù)f（x）=|2x|，現(xiàn)將y=f（x）的圖象向右平移一個(gè)單位，再向上平移一個(gè)單位得到函數(shù)h（x）的圖象．

　�。�1）求函數(shù)h（x）的解析式；

　�。�2）函數(shù)y=h（x）的圖象與函數(shù)g（x）=kx2的圖象在 上至少有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

　　40.函數(shù)f（x）對(duì)于任意的a，b∈R均有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1成立．

　　（1）求證為R上的增函數(shù)；

　　（2）若 對(duì)一切滿足 的m恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

　　41.已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?，1]，且f（x）的圖象連續(xù)不間斷．若函數(shù)f（x）滿足：對(duì)于給定的m （m∈R且0＜m＜1），存在x0∈[0，1-m]，使得f（x0）=f（x0+m），則稱f（x）具有性質(zhì)P（m）．

　�。�1）已知函數(shù)f（x）= ，若f（x）具有性質(zhì)P（m），求m最大值；

　　（2）若函數(shù)f（x）滿足f（0）=f（1），求證：對(duì)任意k∈N*且k≥2，函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P（ ）．

　　42.已知函數(shù)f（x）的定義域D?（0，+∞），若f（x）滿足對(duì)任意的一個(gè)三邊長(zhǎng)為a，b，c∈D的三角形，都有f（a），f（b），f（c）也可以成為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則稱f（x）為"保三角形函數(shù)"．

　�。�1）判斷g（x）=sinx，x∈（0，π）是否為"保三角形函數(shù)"，并說明理由；

　�。�2）證明：函數(shù)h（x）=lnx，x∈[2，+∞）是"保三角形函數(shù)"；

　�。�3）若f（x）=sinx，x∈（0，λ）是"保三角形函數(shù)"，求實(shí)數(shù)λ的最大值．

　　43.函數(shù)y=a （a∈R），設(shè)t= （ ≤t≤2）．

　�。�1）試把y表示成關(guān)于t的函數(shù)m（t）；

　　（2）記函數(shù)m（t）的最大值為g（a），求g（a）；

　�。�3）當(dāng)a≥- 時(shí)，試求滿足 的所有實(shí)數(shù)a的值．

　　44.如圖，已知底角為45°角的等腰梯形ABCD，底邊BC長(zhǎng)為7cm，腰長(zhǎng)為2 cm，當(dāng)一條垂直于底邊BC（垂足為F）的直線l把梯形ABCD分成兩部分，令BF=x，求左邊部分的面積y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并畫出圖象．

　　45.已知函數(shù)f（x）=

　�。�1）若m∈（-2，2），求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；

　　（2）若m∈（0， ]，則當(dāng)x∈[0，m+1]時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象是否總在直線y=x上方，請(qǐng)寫出判斷過程．

　　46.已知函數(shù) ．

　�。�1）求f（x）的定義域和值域；

　�。�2）證明函數(shù) 在（0，+∞）上是減函數(shù)．

　　【答案】

　　1.解：（1）由題意：函數(shù)f（x）=lg（2+x）+lg（2-x）=

　　∴函數(shù)f（x）的定義域滿足： ，解得：-2＜x＜2

　　故函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?2，2）．

　　（2）∵函數(shù)g（x）=10f（x）+2x，

　　∴g（x）= +2x= = ，（-2＜x＜2）

　　∵  ，即 ，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)．

　　根據(jù)勾勾函數(shù)的性質(zhì)：可得：函數(shù)g（x）在（-2，1）時(shí)，是增函數(shù)，（1，2）時(shí)，是減函數(shù)．

　　故得g（x）∈（- ，7]．

　　所以函數(shù)g（x）的值域?yàn)椋? ，7]．

　　2.解：（1）由題設(shè)，令x=y=0，

　　恒等式可變?yōu)閒（0+0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0，

　　（2）令y=-x，則由f（x+y）=f（x）+f（y）得

　　f（0）=0=f（x）+f（-x），即得f（-x）=-f（x），

　　故f（x）是奇函數(shù)

　�。�3）由 f（x2）-f（x）＞ f（3x），

　　f（x2）-f（3x）＞2f（x），

　　即f（x2）+f（-3x）＞2f（x），

　　又由已知f（x+y）=f（x）+f（y）．

　　得：f[2（x）]=2f（x）

　　∴f（x2-3x）＞f（2x），

　　由函數(shù)f（x）是增函數(shù)，不等式轉(zhuǎn)化為x2-3x＞2x．即x2-5x＞0，

　　∴不等式的解集{x|x＜0或x＞5}．

　　3.解：（1）由 得 ，即-1≤x≤1，即函數(shù)的定義域[-1，1]．平方得 ，

　　∴t2∈[2，4]，

　　∵t≥0，

　　∴ ，

　　∴t的取值范圍是 ．-----------（4分）

　�。�2）由（1）知 ，

　　∴ ， ．-----------（6分）

　�。�3） 的對(duì)稱軸為 ．

　�、佼�(dāng) 即 時(shí)， ；

　�、诋�(dāng) 即 時(shí)， ；

　　③當(dāng) 即 時(shí)，g（a）=h（2）=a+2．

　　綜上可得，函數(shù)f（x）的最大值為 ．---（12分）

　　4.解：（1）當(dāng)x∈（0，e]時(shí)，-x∈[-e，0），

　　則f（-x）=a（-x）-lnx，

　　又f（x）是奇函數(shù)，故f（x）=-f（-x）=ax+lnx，

　　故f（x）= ；

　�。�2）當(dāng)x∈（0，e]時(shí)，f（x）=ax+lnx，

　　f′（x）=a+ = ，

　�、佼�(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在區(qū)間（0，e]遞增，

　　故函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上的最大值是f（e）=ae+1=2，

　　故a= ＞0滿足題意；

　�、诋�(dāng)- ≥e，即- ≤a＜0時(shí)，f′（x）=a+ ≥- + ≥- + =0，

　　故f（x）在（0，e]遞增，

　　此時(shí)f（x）在區(qū)間（0，e]的最大值是f（e）=ae+1=2，

　　則a= ＞0，不滿足條件= ≤a＜0；

　　③當(dāng)a＜- 時(shí)，可得f（x）在區(qū)間（0，- ]遞增，在區(qū)間[- ，e]遞減，

　　故x=- 時(shí)，f（x）max=f（- ）=-1+ln（- ），

　　令f（- ）=2，得a=- ＞0 ，不滿足條件，

　　綜上a= 時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上的最大值是2．

　　5.解：（1）由題意得： ＞0，

　　解得：-1＜x＜1，

　　故函數(shù)的定義域是（-1，1）；

　　（2）若函數(shù)f（x）＜0，

　　即 ＜0，

　　即0＜ ＜1，

　　解得：0＜x＜1．

　　6.解：（Ⅰ）由f（-2）=3，f（-1）=f（1）得 ，

　　解得a=-1，b=1

　　所以f（x）= ，

　　從而f（f（-2））=f（-（-2）+1）=f（3）=23=8；

　�。á颍�"描點(diǎn)法"作圖：1°列表：

　　x    -2    -1    0    1    2

　　f（x）    3    2    1    2    4

　　2°描點(diǎn)；3°連線

　　f（x）的圖象如右圖所示：

　　7.解：（1）x的取值需滿足2x-1≠0，則x≠0，

　　即f（x）的定義域是（-∞，0）∪（0，+∞）．

　　（2）由（1）知定義域是（-∞，0）∪（0，+∞），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

　　則f（-x）= + = + ，

　　∴f（x）+f（-x）

　　= + + + = + +1=-1+1=0．

　　∴f（-x）=-f（x），

　　∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．