2013年“華約”自主招生數(shù)學(xué)試卷解析

名師簡(jiǎn)介： 　　崔用亮，學(xué)而思自主招生研究中心數(shù)學(xué)名師，中科院碩士研究生，常年進(jìn)行高三教學(xué)、自主招生教學(xué)。所指導(dǎo)學(xué)生所指導(dǎo)學(xué)生考上清華北大數(shù)十人。

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2013年“華約”自主招生數(shù)學(xué)試卷解析：

　　今年的自主招生剛剛考完，“華約”數(shù)學(xué)試題的整體結(jié)構(gòu)做了較大的改變，從去年的“10 道選擇+5 道解答”題直接變成了“7 道解答”的形式。今年“華約”考試題中沒有選擇題只有解答題等題型，因此今年的部分解答題難度比去年稍簡(jiǎn)單，整體難度與去年相比持平。

　　“華約”自主招生考試命題權(quán)和閱卷權(quán)都已經(jīng)移交給考試院，從今年命題情況看，今年“華約”自主招生數(shù)學(xué)試題僅有第六題不屬于高中知識(shí)點(diǎn)（數(shù)論）背景之內(nèi)，其余試題均以高考知識(shí)點(diǎn)為背景，只需從高考知識(shí)點(diǎn)基礎(chǔ)上進(jìn)行知識(shí)拓展延伸，因此也能看出今年自主招生“華約”試題命題超出高考考試說(shuō)明要求但是以高考知識(shí)背景為依托。同時(shí)今年數(shù)學(xué)試題綜合性不強(qiáng)，應(yīng)用性也有所減弱，著重于數(shù)學(xué)知識(shí)的分析能力，而且試卷也沒有出現(xiàn)跨學(xué)科綜合、現(xiàn)實(shí)問(wèn)題分析（唯一接近的是第三題，即概率統(tǒng)計(jì)中的取球問(wèn)題，不過(guò)這也屬于經(jīng)典較簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型）等題型。 就像去年學(xué)而思自主招生研究中心鄧楊老師說(shuō)的，自主招生的自主性已經(jīng)遭到了極大削弱。但是這不得不說(shuō)，對(duì)于當(dāng)前的優(yōu)秀學(xué)生而言，自主招生選拔已然成為當(dāng)前高考的必備補(bǔ)充。

　　從今年“華約”數(shù)學(xué)試題看，前三道題難度略簡(jiǎn)單，分別是排列組合、三角函數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)題型。第一題是以集合為背景的排列組合問(wèn)題，第一問(wèn)與第二問(wèn)尤其簡(jiǎn)單，對(duì)于考生而言只要懂得排列組合基本原理就可以秒殺。第二題分別用兩式平方和與三角函數(shù)中的和差化積公式就可以秒殺，此題近乎是學(xué)而思自主招生 S 類課程的原題。第三題考到概率統(tǒng)計(jì)中的超幾何分布模型，即使不懂超幾何分布通過(guò)對(duì)取球過(guò)程分析依然能很快得出答案，但是第三問(wèn)需要用到概率統(tǒng)計(jì)學(xué)中的貝葉斯公式（也稱逆概率公式）。幾乎沒有運(yùn)算量：

　�。�2013“華約”自主招生數(shù)學(xué)試題3搶先版）一個(gè)袋子中有15個(gè)球，其中8個(gè)黑球，7個(gè)紅球，從中取出4個(gè)球。

　�。�1）取出的4個(gè)球中有1個(gè)球是紅球的概率。

　　（2）求取出的4個(gè)球中黑球個(gè)數(shù)X的分布列與期望。

　　（3）如果取出的4個(gè)球是同色的，求該顏色為黑色的概率。

　　今年的解析幾何題分別考查軌跡方程、動(dòng)點(diǎn)在定直線的判斷問(wèn)題。該題有一定的難度，不過(guò)通過(guò)學(xué)而思自主招生S類課程中關(guān)于解析幾何中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的分析，很容易發(fā)現(xiàn)該題思路非常固定，我相信學(xué)而思學(xué)員會(huì)似曾相識(shí)，該題屬于常規(guī)中等難度題型。

　　后三道題分別考查數(shù)列、數(shù)論、函數(shù)綜合題型。數(shù)列試題涉及有界性判斷，該知識(shí)點(diǎn)不屬于高考考試說(shuō)明要求范圍內(nèi)。數(shù)論試題需要考生掌握整除原理等知識(shí)點(diǎn)，對(duì)于專心高考沒有準(zhǔn)備過(guò)自招的考生這兩道題（數(shù)列有界性與數(shù)論整除）難度較大。本次考試數(shù)學(xué)試卷的壓軸題是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、數(shù)列相結(jié)合的綜合性問(wèn)題，第一問(wèn)通過(guò)導(dǎo)數(shù)基本原理即可秒殺，第二問(wèn)較難，涉及數(shù)列單調(diào)性與不等式證明等問(wèn)題，不過(guò)其原理依然是學(xué)而思自主招生 GSI 課程中的常規(guī)思路，第一小問(wèn)即通過(guò)構(gòu)造題干中的函數(shù)并利用第一問(wèn)的函數(shù)性質(zhì)即可得出。第二小問(wèn)需要通過(guò)簡(jiǎn)單函數(shù)變換，利用數(shù)列不等式性質(zhì)才能得出答案，該題需要考生熟練掌握函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式原理，因此難度較大。

　　綜合以上情況看，今年自主招生“華約”考試題依然禁錮于數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)原理，與自主招生對(duì)于高校避免“一考定終身” 從而多面手選拔人才的初衷相去甚遠(yuǎn)，反而更像是高考的一次模擬考試，只是知識(shí)點(diǎn)需要拓展延伸一些而已。有道是：“牢騷太盛防腸斷，思物長(zhǎng)宜放眼量”，筆者期待著自主招生真正起到人才選拔多元化作用，能讓高校擁有真正人才自主選拔的那一天。在此，筆者衷心祝愿各位考生能取得優(yōu)異的成績(jī)，考入自己理想的大學(xué)。

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