28屆美國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽

第一部分（上午9：00-12：00）

1999年4月27

1． n×n的方格棋盤(pán)上放著一些棋子，滿(mǎn)足如下兩個(gè)條件：

（a）　　　 放有棋子的方格和沒(méi)有放棋子的方格有一條公共邊。

（b）　　　 任意給定兩個(gè)放有棋子的方格，可以標(biāo)出一條路線(xiàn)，從其中一個(gè)給定的方格出發(fā)，經(jīng)過(guò)所有放有棋子的方格，最后到達(dá)另一個(gè)給定的方格。如圖：

求證：棋盤(pán)上至少有（n²-2）/3個(gè)棋子。

2． 求證：對(duì)于循環(huán)四邊形ABCD有：|AB-CD|+|AD-BC|≥2|AC-BD|。

3． 已知：p是大于2的質(zhì)數(shù)，整數(shù)a、b、c、d不能被p整除，

且有{ra/p}+{rb/p}+{rc/p}+{rd/p}=2 ，其中r是任一不能被p整除的整數(shù)。

求證：在（a+b）、（a+c）、（a+d）、（b+c）、（b+d）、（c+d）6個(gè)數(shù)中至少有兩個(gè)能被p整除。

第二部分（下午1：00-4：00）

1999年4月27

4． 已知：實(shí)數(shù)a₁a₂ 。。。a_n（n≥3）滿(mǎn)足：a₁₊a₂ +。。。+a_n≥n，a₁²₊a₂ ²+。。。+a_n²≥n²。

求證：max（a₁a₂ 。。。a_n）≥2。

5． Y2K游戲：有2000千個(gè)方格排成一排,兩個(gè)玩家輪流在方格里寫(xiě)S或O，誰(shuí)先在連續(xù)的三個(gè)方格里寫(xiě)出SOS，誰(shuí)就獲勝；如果沒(méi)有人寫(xiě)出算平局。

證明：后寫(xiě)的人有勝算。

6． 已知：等腰梯形ABCD，AB//CD，△BCD的內(nèi)切圓與CD交于E點(diǎn)；F是∠DAC的平分線(xiàn)上一點(diǎn)，且EF⊥CD；△ACF的外接圓與CD交于C和G；

求證：△AFG是等腰三角形。

（