數(shù)學(xué)奧林匹克高中訓(xùn)練題（一）

2009-08-31 12:27:39網(wǎng)絡(luò)來源

數(shù)學(xué)奧林匹克高中訓(xùn)練題（一）

第一試

一、選擇題（每小題6分，共36分）

1、已知sina·cosb= –則cosa·sinb的取值范圍為……………………………（　）

　　　 (A)[–1，]　　　　　　 (B)[–]　　　　　　　　 (C)[–]　　　　 (D)[–]

2、一個人以勻速6m/s去追停在交通燈前的汽車，當(dāng)他離汽車25m時，交通燈由紅

　變綠，汽車以1m/s²的加速度勻加速開走，那么………………………………（　）

　　　 (A)人可在7s內(nèi)追上汽車　　　　　　　　　　　　 (B)人可在10s內(nèi)追上汽車

　　　 (C)人追不上汽車，其間最近距離為5m　 (D)人追不上汽車，其間最近距離為7m

3、已知a、b是不相等的正數(shù)，在a、b之間插入兩組數(shù)

　 x₁,x₂,…,x_n,

　 y₁,y₂,…,y_n,

　使a,x₁,x₂,…,x_n,b成等差數(shù)列，a,y₁,y₂,…,y_n,b成等比數(shù)列.則下列不等式

（1）

（2）

（3）

（4）中，為真命題的是……………………（　）

　　　 (A)（1）、（3）　　　　 (B)（1）、（4）　　　 (C)（2）、（3）　　　　 (D)（2）、（4）

4、已知長方體的三條面對角線長為5，4，x.則x的取值范圍為………………（　）

　　　 (A)（2，）　　　 (B)（3，9）

　 (C)（3，）　 (D)（2，9）

　　　

　　　

5、已知直線l₁:y=ax+3a+2與l₂:y= –3x+3的交點在第一象限.則a的取值范圍為（　）

　　　 (A)（–　　　　　　 (B)（–∞，）　　　 (C)（–3，　　　　　 (D)（–+∞）

6、已知a、b、c三人的年齡次序滿足：

（1）如果b不是年齡最大，那么a年齡最�。�

（2）如果c不是年齡最小，那么a年齡最大.

則這三個人的年齡從大到小為…………………………………………………（　）

　　　 (A)bac　　　　　　　　　　　 (B)cba　　　　　　　　　　　 (C)abc　　　　　　　　　　　 (D)acb

二、填空題（每小題9分，共54分）

1、不等式(x–1)≥0的解集為　　　　　　　　 .

2、拋物線y=ax²+bx+c(a≠0)與x軸交于A、B兩點，則以AB為直徑的圓的方程為

　　　　　　　　.

3、圓錐的母線長為l，它和底面所成的角為θ，這個圓錐的內(nèi)接正方體的棱長為

　　　　　　（正方體有4個頂點在圓錐底面上，另4個頂點在圓錐側(cè)面上）.

4、在足球比賽中，甲方邊鋒從乙方球門（圖2中AB）

　附近帶球過人沿直線（圖2中CD）向前推進(jìn)，于

　點C起腳射門。請給出使命中角∠ACB最大的一

　個充分條件　　　　　　（不增加輔助線）.

5、觀察下列等式：

　 3²+4²=5²，10²+11²+12²=13²+14²，21²+22²+23²+24²=25²+26²+27²，

　 36²+37²+38²+39²+40²=41²+42²+43²+44²……

　其第k個等式為　　　　　　　　　　　　 .

6、集合A={x₁,x₂,x₃,x₄,x₅}，計算A中的二元子集兩元素之和組成集合B={3，4，5，6，

　 7，8，9，10，11，13}.則A=　　　　　　　　　 .

三、（滿分20分）橢圓的兩個端點為A(a,0)、A₁(–a,0),過線段AA₁

內(nèi)的點作垂線交橢圓于兩點 C、D.連AC、A₁D相交于P. 求點P所在的曲線方

程.

四、（滿分20分）在直三棱住ABC–A₁B₁C₁中，BC₁⊥A₁C，BC₁⊥AB₁.求證：△ABC

　為等腰三角形.

五、（滿分20分）對于給定的角a₁，a₂，…，a_n，試討論方程xⁿ+xⁿ^–1sina₁+xⁿ^–2.

　 sina₂+…+xsina_n_–1+sina_n=0是否有模大于2的復(fù)數(shù)根？

第二試

一、（滿分50分）在銳角△ABC中，外接圓半徑為R=1，∠A、∠B、∠C的對邊為

a、b、c.求證：

二、（滿分50分）設(shè)S為{1，2，…，50}的具有下列性質(zhì)的子集，S中任意兩個不同

　元素之和不被7整除.則S中元素最多可能有幾個？

三、（滿分50分）一些選手參加競賽，其中有些選手互相認(rèn)識，有些選手互相不認(rèn)識，

而任何兩個不相識的選手都恰有兩個共同的熟人.若A與B認(rèn)識，但沒有共同的

熟人，求證：A、B認(rèn)識的熟人一樣多.