1998中國數(shù)學奧林匹克（廣州）（第十三屆全國中學生數(shù)學冬令營）

　　第一天（1998年1月12日上午8:00-12:30）

　　一、在一個非鈍角△ABC中,AB＞BC,∠B=45o,O和I分別是△ABC的外心和內(nèi)心,且21/2OI=AB-BC,求sin∠A.

　　二、對于給定的大于1的正整數(shù)n,是否存在2n個兩兩不同的正整數(shù)a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn,同時滿足以下兩個條件:

　　(1)a1+a2+…+an=b1+b2+…+bn;

　　(2)

　　請說明理由.

　　三、設S={1,2,…,98},求最小自然數(shù)n,使得S的任一n元子集中都可以選出10個數(shù),無論怎樣將這10個數(shù)均分成兩組,總有一組中存在一個數(shù)與另外4個數(shù)都互質(zhì),而另一組中總有一個數(shù)與另外4個數(shù)都不互質(zhì).

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　　第二天（1998年1月13日上午8:00-12:30）

　　四、求所有大于3的自然數(shù)n,使得1+Cn1+Cn2+Cn3整除22000.

　　五、設D為銳角三角形ABC內(nèi)部一點,且滿足條件:DA·DB·AB+DB·DC·BC+DC·DA·CA=AB·BC·CA.試確定D點的幾何位置,并證明你的結(jié)論.

　　六、設n≥2,x1,x2,…,xn均為實數(shù),且對于每一個固定的k(k∈N,1≤k≤n),求|xk|的最大值.