分類與討論

1.       分類討論的規(guī)則

解題總是在一定的范圍(論域)進(jìn)行的.解題中有時(shí)要將題目條件包含的全體對(duì)象分成若干類,然后逐類討論,才能得出正確的解答.因此,分類討論是數(shù)學(xué)解題中的一個(gè)重要內(nèi)容.

(1)    分類的規(guī)則  分類時(shí)首先要明確分類的對(duì)象和分類的標(biāo)準(zhǔn).有時(shí)還要對(duì)第一次分出的各類進(jìn)行再分類,這就是第二級(jí)分類,類似地有第三級(jí)分類、第四級(jí)分類、……，這種進(jìn)行多次分類的現(xiàn)象叫做連續(xù)分類.合理的分類不但是正確解題的基礎(chǔ)，而且是簡(jiǎn)捷解題的出發(fā)點(diǎn).

分類的原則是：不重不漏，即每一個(gè)題設(shè)包含的對(duì)象都必須在而且只在所分的一類中.為此，分類時(shí)必須做到：

①     一次分類只按一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行；

②     連續(xù)分類按層次逐級(jí)進(jìn)行.

（2）枚舉和討論  解決需要討論的問題的方法是枚舉，枚舉的基礎(chǔ)是正確分類.

例1          求出所有的自然數(shù)n，使三個(gè)整數(shù)n，n+8，n+16都為質(zhì)數(shù).

解  現(xiàn)將所有自然數(shù)n按模為3的剩余類分成三類：

n=3k，3k+1，3k+2.

當(dāng)n=3k時(shí)，只有k=1時(shí)，三個(gè)整數(shù)（3，11，19）都是質(zhì)數(shù)；

當(dāng)n=3k+1時(shí)，n+8=3k+1+8=3（k+3）不是質(zhì)數(shù)；

當(dāng)n=3k+2時(shí)，n+16=3k+2+16=3（k+6）不是質(zhì)數(shù).

所以滿足題設(shè)的自然數(shù)只有一個(gè)3.

2．分類討論舉例

下面我們用分類討論的思想方法來(lái)解決一些國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)競(jìng)賽問題.

例2          （第4屆加拿大中學(xué)生競(jìng)賽題）設(shè)a和n是相異的實(shí)數(shù)，證明存在整數(shù)m和n使得am+bn＜0，bm+an＞0.

證明  既然a，b為相異實(shí)數(shù)，那么必有a-b＜0或a-b＞0.

當(dāng)a-b＜0時(shí)，就取m=1，n=-1，驗(yàn)證和滿足所給不等式；

當(dāng)a-b＞0時(shí)，就取m=-1，n=1，顯然也滿足所給不等式.

例3          （1956年上海市競(jìng)賽題）從1到100這一百個(gè)自然數(shù)中，每次取2個(gè)，要它們的和大于100，有多少種取法？

解  因?yàn)槊看嗡�取的兩�?shù)不等，所以可以按較大（或較�。┑臄�(shù)的取值來(lái)分類考慮：

較大的數(shù)取100時(shí)，另一數(shù)有99種取法；

較大的數(shù)取99時(shí)，另一數(shù)有97種取法；

……

較大的數(shù)取51時(shí)，另一數(shù)有一種取法；而50以下的任何兩數(shù)都不能組成符合條件的數(shù)對(duì)，故共有1+3+5…+97+99=2500種取法.

按照某個(gè)確定的自然數(shù)為模的剩余類分類是數(shù)學(xué)競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn)的問題之一.

例4          求證：從任意n個(gè)整數(shù)a₁，a₂，…，a_n中，一定可以找到若干個(gè)數(shù)，使它們的和可被n整除.

證明  考察如下的n個(gè)和，a₁，a₁+a₂，a₁+a₂+a₃，…，a₁+a₂+…+a_n.

若其中至少有一個(gè)能被n的整除，則結(jié)論成立；

若其中沒有一個(gè)能被n整除；則將他們按模n的剩余類至多可分為余數(shù)為1，余數(shù)為2，…，余數(shù)為n-1的n-1個(gè)類.因此,這幾個(gè)整數(shù)中至少有兩個(gè)整數(shù)a₁+a₂+…+ak和a₁+a₂+a₃+a_k+…+a_l（l＞k）對(duì)模n有相同的余數(shù).

這時(shí)和數(shù)a_k+1+…+a_l=（a₁+a₂+…+a_k+…+a₁）-（a₁+a₂+…+a_k）顯然可被n整除，即結(jié)論成立.

說(shuō)明：本例通過(guò)分類制造“抽屜”，體現(xiàn)了分類思想有“抽屜原則”的完美結(jié)合.

在給定的幾何條件下，由于圖形的形狀或位置不同含有不同的結(jié)果或需用不同的方法處理，這就引出了幾何中的分類討論問題.

例5  （1989年武漢、廣州等五市初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）△ABC中，∠C=，BM是中線，AC=2a，若沿BM將三角形對(duì)折起來(lái)，那個(gè)兩個(gè)小三角形ABM和BCM重疊部分的面積恰好等于△ABC面積的四分之一.試求△ABC的面積.

解①若原三角形中，∠ABM＞∠CBM，則對(duì)折后如圖28-1，其中是對(duì)折后C點(diǎn)所落位置，△BMD是重疊部分.依題意得

∴即D為AM的中點(diǎn).

又

∴D是BC的中點(diǎn).

由∠ADB=∠MD知，△ABD≌△MD，∴AB=M=CM=.而∠ACB=，∴∠ABC=.

由AC=2a，可得AB=a，BC=

∴

（2）若原三角形中∠ABM＜∠CBM，對(duì)折后如圖28-2.如上證明，可得D為AB，M的中點(diǎn).

∴于是BC=B=a.

過(guò)B作△ABC的高BE.∵∠ACB=，

∴

∴  

（3）顯然，∠ABM=∠CBM不合題意.

列6 設(shè)一條曲線的兩端在單位正方形的周界上；并且這條曲線將正方形分成面積相等的兩部分.證明這條曲線的長(zhǎng)度不小于1.

證明  （如圖28-3）設(shè)曲線PQ分正方形ABCD為面積相等的兩部分S₁，S₂.又M、N、E、F分別為正方形的邊的中點(diǎn).因的面積，故曲線PQ與線段MN、EF、AC、BD必各至少有一個(gè)公共點(diǎn).現(xiàn)按P、Q的位置來(lái)分類討論.

不失一般性，不妨設(shè)P在AB上，這時(shí)，

①     Q在對(duì)邊CD上（圖28-4）.如上所述,曲線PQ與MN至少有一公共點(diǎn)(設(shè)為R),則PQ=PR+RQ≥PR+RQ≥MR+RN=MN=1，此時(shí)結(jié)論正確.

②     Q在AB上（圖28-5）.設(shè)曲線PQ與線段EF的一個(gè)公共點(diǎn)為R.以EF為對(duì)稱軸作出PR的對(duì)稱圖形，則曲線PQ與曲線等長(zhǎng).由①知≥1，故PQ≥1，此時(shí)結(jié)論也正確.

③     Q在鄰邊BC或AD之一上（圖28-6）.令曲線PQ與AC的一個(gè)公共點(diǎn)為R，以AC為對(duì)稱軸作出RQ的對(duì)稱圖形，則曲線PQ與等長(zhǎng).由①知，此時(shí)結(jié)論亦成立.

綜上述，對(duì)符合條件的任意位置的P、Q均有所述結(jié)論.

練習(xí)二十八

1．  選擇題

（1）如果a、b為不超過(guò)10的自然數(shù)，那么能使方程ax=b的解大于而小于的a、b有（   ）.

（A）      五組  （B）四組 （C）三組  （D）兩組

（2）（1984年重慶初中競(jìng)賽題）如果α、β、γ是三角形三內(nèi)角，x=α+β，y=β+γ，z=γ+α，那么x，y，z中銳角個(gè)數(shù)的錯(cuò)誤判斷應(yīng)是（   ）.

（A）      可能沒有銳角  （B）可能有一個(gè)銳角

（C）可能有兩個(gè)銳角  （D）最多有一個(gè)銳角

（3）（1978年重慶競(jìng)賽題）a、b、c是三角形三邊，由a-b＜c可導(dǎo)出（   ）.

（A）＜c²（B）a²-b²＞c²（C）a²-b²=c²（D）以上結(jié)論都不對(duì)

2．（1989年吉林初中預(yù)選賽試題）已知n（n≥2）個(gè)相異自然數(shù)的和與積相等，求此n的值及n個(gè)自然數(shù).

3．（第4屆加拿大中學(xué)生競(jìng)賽試題）證明方程x³+11³=y³沒有x   和y的正整數(shù)解.

4．（1983年上海初中競(jìng)賽題）已知△ABC中∠B為銳角.從頂點(diǎn)A向邊BC或它的延長(zhǎng)線引垂線，交BC于H，又從頂點(diǎn)C向邊AB或它的延長(zhǎng)線引垂線交AB于K點(diǎn).試問當(dāng)2BH：BC、2BK：BA是整數(shù)時(shí)，△ABC是怎樣三角形？證明你的結(jié)論.

5.(1984年西安初中競(jìng)賽題)求證n⁵-n可被30整除(n∈整數(shù)).

6．（1978年重慶競(jìng)賽題）設(shè)△ABC中，AB=AC，P為該三角形內(nèi)一點(diǎn)，且∠APB＞∠APC.用間接證法證明:∠BAP＜∠CAP.

7．（1957年上海競(jìng)賽題）設(shè)自然數(shù)62αβ427為99的倍數(shù)，求α、β.

8．（莫斯科比賽大會(huì)預(yù)習(xí)題）求多項(xiàng)式x²+βx+q的使它在區(qū)間[-1，1]上的絕對(duì)值為極大值的最小值.

9．證明內(nèi)接平行四邊形的三角形的面積不可能大于這個(gè)平行四邊形面積的一半.

10．（第7屆加拿大中學(xué)競(jìng)賽題）對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù)γ，[γ]表示小于或等于γ的最大整數(shù)，例如[6]=6，[π]=3，[-1.5]=-2.在（x，y）平面上指出滿足[x]²+[y]²=4的一切點(diǎn)（x，y）.