從笛卡爾到龐加萊——法國數(shù)學的人文主義傳統(tǒng)

　　在德國數(shù)學家高斯的一部傳記中，作者引用了下面這段話：
　　
　　有一個異鄉(xiāng)人在巴黎問當?shù)厝耍?ldquo;為什么貴國歷史上出了那么多偉大的數(shù)學家？”
　　
　　巴黎人回答，“我們最優(yōu)秀的人學習數(shù)學。”
　　
　　又去問法國數(shù)學家，“為什么貴國的數(shù)學一直享譽世界呢？”
　　
　　數(shù)學家回答，“數(shù)學是我們傳統(tǒng)文化中最優(yōu)秀的部分。”
　　
　　笛卡爾以前的法國數(shù)學
　　
　　在中世紀以前，數(shù)學的成就主要是在一些文明古國取得的，例如埃及、美索不達米亞、中國、印度和阿拉伯，當然還有希臘�？梢钥隙ǖ氖牵�如果沒有希臘人的貢獻，數(shù)學就不會像現(xiàn)在這樣豐富多彩。而在長達一千多年的中世紀里，整個歐洲似乎只有一個堪稱偉大的數(shù)學家——菲波那契，以他名字命名的兔子序列至今仍在數(shù)學王國里發(fā)出光輝。歐洲之外，最有名的數(shù)學家當數(shù)巴格達的花拉子密，正是他命名了代數(shù)學，在阿拉伯語里，al-jabr意為還原移項，譯成拉丁文后就成了algebra，這也是今天英文里的代數(shù)學。
　　
　　14世紀是歐洲黑死病流行的時期，毀滅了將近四分之一的人口，數(shù)學上取得的成績也非�？蓱z。但疾病和戰(zhàn)爭有時候會改變文明的格局，法蘭西開始嶄露頭角，逐漸走在世界文明的前列。這個世紀最重要的數(shù)學家被認為是法國人奧雷斯姆，他寫過五部數(shù)學書，和他的譯文一樣文筆優(yōu)美，為科學修辭和法國散文作出了貢獻。奧雷斯姆第一個使用了分數(shù)指數(shù)，第一個用坐標確定了點的位置，這預示了現(xiàn)代坐標幾何學，影響了包括笛卡爾在內(nèi)的諸多數(shù)學家。
　　
　　15世紀開始了歐洲的文藝復興，可是數(shù)學進展仍然不大，其時最杰出的數(shù)學家是法國人丘凱，16世紀最偉大的數(shù)學家也是法國人。他的名字叫韋達。法國人的數(shù)學在文藝復興之初已達到世界先進水平，正是在那個時期，（現(xiàn)今的）初等數(shù)學基本上羽翼豐滿了。同時，這也為近代數(shù)學和科學的全面發(fā)展奠定了相對堅實的基礎。
　　
　　笛卡爾和天才的世紀
　　
　　在笛卡爾出生以前，意大利人在世界文明的進程中走在最前列，他們在數(shù)學和科學領域也處于領先地位，塔爾塔里亞（口吃者）與卡爾達諾在三次和四次方程的解法研究上取得了突破，他們兩人的成就合起來不低于同時代的法國人韋達�？墒�，這兩位同胞數(shù)學家卻相互控告對方剽竊，結(jié)果弄得兩敗俱傷。1564年出生的伽利略一直在意大利的兩所大學任數(shù)學教授，他發(fā)明的扇形圓規(guī)通用了兩個世紀，同時對拋物線性質(zhì)和無限集的等價概念有了正確的理解，他的數(shù)學天才和直覺幫助其建立起了自由落體的力學定律。他用自制望遠鏡觀察宇宙，證實了哥白尼的太陽系理論，卻不幸遭到羅馬教會的迫害，含冤而死。
　　
　　和大多數(shù)天才人物一樣，笛卡爾也出生在小地方。他小時母親病故，身體羸弱，已另娶妻的父親把他交給外婆撫養(yǎng)，后來又送他進拉弗萊什的一所教會學校。幸虧校長極有人文修養(yǎng)，看出這個孩子心智和身體上的差異，要他先增強體質(zhì)。校長告訴小笛卡爾，除非想去教室和別的同學們在一起，否則不必離開自己的房間。從那以后，笛卡爾終身保持了晚起的習慣，包括他在部隊當兵時，當他需要思考問題時，就躺在床上冥思苦想。盡管笛卡爾身體虛弱并愛睡懶覺，卻是個勇敢的軍人，并曾被授予中將軍銜，但被他拒絕。
　　
　　笛卡爾在數(shù)學上的主要成就是創(chuàng)立了一門數(shù)學分支——解析幾何，同時他又被黑根爾贊譽為“近代哲學之父”。作為一個二元論者，笛卡爾明確地把心靈和肉體區(qū)分開來，其中心靈的作用如同其著名的哲學命題所表達的——“我思，故我在”。而在方法論上，笛卡爾則是一個徹頭徹尾的懷疑主義者，對他來說，懷疑是一種必要的手段，是哲學和心理學方法中的一個工具。笛卡爾認為，我們從童年時代起就接受了許多偏見，如果得不到及時糾正，會持續(xù)到成年，他進一步指出，“懷疑是一門藝術，它使我們脫離感覺的影響獲得解放。”
　　
　　在笛卡爾時代，他在數(shù)學上有好幾位競爭對手。例如，畢生居住在法國南方山區(qū)小城圖盧茲的法官費爾馬，他有著“業(yè)余數(shù)學家之王”的美號。今天我們大家都知道“費爾馬大定理”，它是畢達哥拉斯定理（即勾股定理）的推廣和提升，雖然結(jié)論截然相反。直到上個世紀末，這個定理才被英國數(shù)學家懷爾斯最后證明了。據(jù)說在笛卡爾生前，他經(jīng)常接到費爾馬的挑戰(zhàn)，例如宣布發(fā)現(xiàn)某某數(shù)學規(guī)律卻不告之證明方法，這些挑戰(zhàn)有的是以書面的形式提出，有的是通過一位叫梅森的神甫傳達。說起這個梅森神甫，雖然算不上是偉大的數(shù)學家（僅以梅森素數(shù)命名），卻是17世紀法國數(shù)學不可或缺的人物。還有一位是帕斯卡爾，據(jù)說帕斯卡爾12歲那年，從未受過相關訓練的他獨自推導出了幾何學中的一條定理，即三角形的三個內(nèi)角和等于兩個直角之和。從那以后，父親才開始教授兒子歐幾里德幾何，不久父子倆一同參加了梅森神甫組織的數(shù)學沙龍。帕斯卡爾的主要數(shù)學成就包括概率論的創(chuàng)立（與費爾馬合作）、二項式系數(shù)和射影幾何學中的帕斯卡爾定理（圓錐曲線的內(nèi)接六邊形三組對邊的交點共線）。
　　
　　除了數(shù)學上的成就以外，帕斯卡爾還發(fā)明了計算機（初衷是為了幫助父親進行稅務方面的計算）、流體壓力定律（水壓機便是這個定律的一個應用），計算機中的帕斯卡爾語言和天氣預報中的大氣壓強單位帕均取自他的姓名。而在人文和哲學領域，帕斯卡爾取得了同樣非凡的成就。他的散文作品《思想錄》被公認為是所有法國文學中的珍品，在宗教方面，他宣揚可以通過心靈而不是通過理性來體驗上帝的教義，他建立的直覺主義原理對于后來盧梭、實用主義和存在主義哲學家都有影響。
　　
　　在達到盛名之后，帕斯卡爾和笛卡爾不約而同地選擇了隱居生活。笛卡爾說過，“我只要求安寧和平靜”相比笛卡爾和帕斯卡爾的多才多藝，費爾馬把自己的聰明才智全部奉獻給了數(shù)論。這當然與費爾馬有著自己的職業(yè)、需要養(yǎng)家糊口有關，但我認為更重要的是，費爾馬與高斯、歐拉這三個對數(shù)論有杰出貢獻的數(shù)學家，他們已經(jīng)從數(shù)論之美中獲得了滿足，因此不怎么需要尋求諸如藝術、哲學或宗教的滋養(yǎng)。從畢達哥拉斯時代人們就沉湎于發(fā)現(xiàn)數(shù)的神秘關系，優(yōu)美、簡潔、智慧是這門科學的特點。記得希爾伯特的傳記作者在談到大師放下代數(shù)不變量理論轉(zhuǎn)向數(shù)論研究時寫到，“數(shù)學中沒有一個領域能夠像數(shù)論那樣，以它的美——一種不可抗拒的力量——吸引著數(shù)學家中的精華。”畫家康定斯基也認為：“數(shù)是各類藝術最終的抽象表現(xiàn)。”
　　
　　從費爾馬到龐加萊
　　
　　自從費爾馬于1665年去世后，法國數(shù)學界有半個世紀的沉寂，之后從17世紀20年代開始，接連誕生了一批數(shù)學大師，幾乎每隔七八年就有一位，他們中的每一個都成就非凡，如果放在其他國家里，都可能成為該國歷史上最偉大的數(shù)學家。而法國人也是以此為傲，其中的七位數(shù)學家，分別是達蘭貝爾、拉格朗日、拉普拉斯、蒙日、蓬斯萊、柯西和伽羅瓦。
　　
　　“在天才的伽羅瓦去世二十多年以后，法國又誕生了一位大數(shù)學家，他就是新近因為以其名字命名的猜想獲得解決而重新引起全球公眾矚目的龐加萊，他的才華和成就橫跨了科學與人文兩大領域。龐加萊被認為是通曉全部數(shù)學與應用數(shù)學知識的最后一個人，他涉足的研究領域驚人地廣泛，并不斷使之豐富。
　　
　　龐加萊出生在法國東北部小城南錫，父親是一位著名的醫(yī)生。龐加萊的超常智力不僅使他接受知識極為迅速，同時擁有一副流利的口才，并從小得到才華出眾的母親的教導，卻不幸在五歲時患上白喉癥，從此變得體弱多病，不能順利地用口語表達思想。但他依然喜歡各種游戲，尤其是跳舞，他讀書的速度也十分驚人，且能準確持久地記住讀過的內(nèi)容。小龐加萊擅長的科目包括文學、歷史、地理、自然史和博物學，他對數(shù)學的興趣來得比較晚，大約開始于15歲，不過很快顯露出非凡的才華。不久，他被保送到巴黎綜合工科學校（就是伽羅瓦兩次報考未被錄取的大學），開始了他的數(shù)學生涯。
　　
　　龐加萊的哲學著作包括《科學與假設》、《科學的價值》和《科學方法論》，他是唯心主義約定論哲學的代表人物，認為公理可以在一切可能的約定中進行選擇，但需以實驗事實為依據(jù)，避開一切矛盾。正是由于這些成就的取得才使他既當選為法蘭西科學院的院士（后成為院長），又當選為法蘭西學院的院士，他同時處身于科學和人文兩座金字塔的塔尖。龐加萊相信藝術家和科學家之間創(chuàng)造力的共性，相信“只有通過科學與藝術，文明才體現(xiàn)出價值”。
　　
　　中國有望成為真正的數(shù)學大國
　　
　　需要指出的是，本文提到的半數(shù)法國數(shù)學家與巴黎綜合工科學校結(jié)緣，而另一座同樣誕生于法國大革命期間、校名也同樣謙遜的巴黎高等師范學校則在上個世紀培養(yǎng)了八位菲爾茲獎得主�？梢哉f，正是笛卡爾以降法國數(shù)學家擁有的人文素養(yǎng)，使得數(shù)學在法國長盛不衰。值得一提的是，這一良好的氛圍也熏陶了滯留巴黎的德國人萊布尼茨，他從一個肩負外交使命的秘密使臣一躍成為大數(shù)學家和大哲學家，他那轟動一時的微積分學便是在巴黎期間發(fā)明的。萊布尼茨的出現(xiàn)標志著德意志民族在世界文明史上的真正崛起，同時也使得法國數(shù)學又多了一個強有力的競爭者。而布爾巴基學派的誕生，便是迫于德國數(shù)學后來居上的壓力和形勢之下。
　　
　　反觀中國，雖說西漢時期有了《周髀算經(jīng)》和《九章算術》，南朝時祖沖之對圓周率的估算領先世界一千多年，卻限于實用性的計算而忽視公理化建設和理論推導。近代以來，由于缺乏對外交流，中國和整個東方數(shù)學未跟上時代的腳步。等到國門重開，終于意識到自己的落后，擺在我們面前的困難重重。這里面當然有機制和學風的因素，不過我相信，如果我們的數(shù)學工作者年輕時多一些人文修養(yǎng)，盛年之后能把一部分精力轉(zhuǎn)向哲學思考或研究，及時探討數(shù)學的未來和外延。如同本文引言所說的，把數(shù)學看成是傳統(tǒng)文化的一部分，而不是作為敲門磚或謀取名利的手段，我們的數(shù)學事業(yè)就會興旺發(fā)達，數(shù)學研究和人才培養(yǎng)就會成為一種有序的制度，中國也有望成為真正的數(shù)學大國。