最早的數(shù)學(xué)——算術(shù)

　　算術(shù)是數(shù)學(xué)中最古老、最基礎(chǔ)和最初等的部分。它研究數(shù)的性質(zhì)及其運(yùn)算。

　　“算術(shù)”這個(gè)詞，在我國古代是全部數(shù)學(xué)的統(tǒng)稱。至于幾何、代數(shù)等許多數(shù)學(xué)分支學(xué)科的名稱，都是后來很晚的時(shí)候才有的。

　　國外系統(tǒng)地整理前人數(shù)學(xué)知識的書，要算是希臘的歐幾里得的《幾何原本》最早�！稁缀卧�本》全書共十五卷，后兩卷時(shí)候人增補(bǔ)的。全書大部分是屬于幾何知識，在第七、八、九卷中專門討論了數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算，屬于算術(shù)的內(nèi)容。

　　現(xiàn)在拉丁文的“算術(shù)”這個(gè)詞是由希臘文的“數(shù)和數(shù)(音屬，sh?三音)數(shù)的技術(shù)”變化而來的。“算”字在中國的古意也是“數(shù)”的意思，表示計(jì)算用的竹籌。中國古代的復(fù)雜數(shù)字計(jì)算都要用算籌。所以“算術(shù)”包含當(dāng)時(shí)的全部數(shù)學(xué)知識與計(jì)算技能，流傳下來的最古老的《九章算術(shù)》以及失傳的許商《算術(shù)》和杜忠《算術(shù)》，就是討論各種實(shí)際的數(shù)學(xué)問題的求解方法。

　　關(guān)于算數(shù)的產(chǎn)生，還是要從數(shù)談起。數(shù)是用來表達(dá)、討論數(shù)量問題的，有不同類型的量，也就隨著產(chǎn)生了各種不同類型的數(shù)。遠(yuǎn)在古代發(fā)展的最初階段，由于人類日常生活與生產(chǎn)實(shí)踐中的需要，在文化發(fā)展的最初階段就產(chǎn)生了最簡單的自然數(shù)的概念。

　　自然數(shù)的一個(gè)特點(diǎn)就是由不可分割的個(gè)體組成。比如說樹和羊這兩種事物，如果說兩棵樹，就是一棵再一顆；如果有三只羊，就是一只、一只又一只。但不能說有半棵樹或者半只羊，半棵樹或者半只羊充其量只能算是木材或者是羊肉，而不能算作樹和羊。

　　不過，自然數(shù)不足以解決生活和生產(chǎn)中常見的分份問題，因此數(shù)的概念產(chǎn)生了第一次擴(kuò)張。分?jǐn)?shù)是對另一種類型的量的分割而產(chǎn)生的。比如，長度就是一種可以無限地分割的量，要表示這些量，就只有用分?jǐn)?shù)。

　　從已有的文獻(xiàn)可知，人類認(rèn)識自然數(shù)和分?jǐn)?shù)的歷史是很久的。比如約公元前2000年流傳下來的古埃及萊茵德紙草書，就記載有關(guān)于分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法；中國殷代遺留下來的甲骨文中也有很多自然數(shù)，最大的數(shù)字是三萬，并且全部是應(yīng)用十進(jìn)位制的位置計(jì)數(shù)法。

　　自然數(shù)和分?jǐn)?shù)具有不同的性質(zhì)，數(shù)和數(shù)之間也有不同的關(guān)系，為了計(jì)算這些數(shù),就產(chǎn)生了加、減、乘、除的方法，這四種方法就是四則運(yùn)算。

　　把數(shù)和數(shù)的性質(zhì)、數(shù)和數(shù)之間的四則運(yùn)算在應(yīng)用過程中的經(jīng)驗(yàn)累積起來，并加以整理，就形成了最古老的一門數(shù)學(xué)──算術(shù)。

　　在算術(shù)的發(fā)展過程中，由于實(shí)踐和理論上的要求，提出了許多新問題，在解決這些新問題的過程中，古算術(shù)從兩個(gè)方面得到了進(jìn)一步的發(fā)展。

　　一方面在研究自然數(shù)四則運(yùn)算中，發(fā)現(xiàn)只有除法比較復(fù)雜，有的能除盡，有的除不盡，有的數(shù)可以分解，有的數(shù)不能分解，有些數(shù)又大于1的公約數(shù)，有些數(shù)沒有大于1的公約數(shù)。為了尋求這些數(shù)的規(guī)律，從而發(fā)展成為專門研究數(shù)的性質(zhì)、脫離了古算術(shù)而獨(dú)立的一個(gè)數(shù)學(xué)分支，叫做整數(shù)論，或叫做初等數(shù)論，并在以后又有新的發(fā)展。

　　另一方面，在古算術(shù)中討論各種類型的應(yīng)用問題，以及對這些問題的各種解法。在長期的研究中，很自然地就會啟發(fā)人們尋求解這些應(yīng)用問題的一般方法。也就是說，能不能找到一般的更為普遍適用的方法來解決同樣類型的應(yīng)用問題，于是發(fā)明了抽象的數(shù)學(xué)符號，從而發(fā)展成為數(shù)學(xué)的另一個(gè)古老的分支，指就是初等代數(shù)。

　　數(shù)學(xué)發(fā)展到現(xiàn)在，算術(shù)已不再是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，現(xiàn)在我們通常提到的算術(shù)，只是作為小學(xué)里的一個(gè)教學(xué)科目，目的是使學(xué)生理解和掌握有關(guān)數(shù)量關(guān)系和空間形式的最基礎(chǔ)的知識，能夠正確、迅速地進(jìn)行整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算，初步了解現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的一些最簡單的思想，具有初步的邏輯思維能力和空間觀念。

　　現(xiàn)代小學(xué)數(shù)學(xué)的具體內(nèi)容，基本上還是古代算術(shù)的知識，也就是說，古代算術(shù)和現(xiàn)代算術(shù)的許多內(nèi)容上是相同的。不過現(xiàn)代算術(shù)和古代算術(shù)也還存在著區(qū)別。

　　首先，算術(shù)的內(nèi)容是古代的成人包括數(shù)學(xué)家所研究的對象，現(xiàn)在這些內(nèi)容已變成了少年兒童的數(shù)學(xué)。其次，在現(xiàn)代小學(xué)數(shù)學(xué)里，總結(jié)了長期以來所歸結(jié)出來的基本運(yùn)算性質(zhì)，即加法、乘法的交換律和結(jié)合律，以及乘法對加法的分配律。這五條基本運(yùn)算定律，不僅是小學(xué)數(shù)學(xué)里所學(xué)習(xí)的數(shù)運(yùn)算的重要性質(zhì)，也是整個(gè)數(shù)學(xué)里，特別是代數(shù)學(xué)里著重研究的主要性質(zhì)。

　　第三，在現(xiàn)代的小學(xué)數(shù)學(xué)里，還孕育著近代數(shù)學(xué)里的集合和函數(shù)等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)概念的思想。比如，和、差、積、商的變化，數(shù)和數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，以及比和比例等。

　　另外，現(xiàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)里，還包含有十六世紀(jì)才出現(xiàn)的十進(jìn)小數(shù)和它們的四則運(yùn)算。應(yīng)當(dāng)提出的是十進(jìn)小數(shù)不是一種新的數(shù)，而可以被看作是一種分母是10的方冪的分?jǐn)?shù)的另一種寫法。

　　我們在這里把算術(shù)列成第一個(gè)分支，主要是想強(qiáng)調(diào)在古代全部數(shù)學(xué)就叫做算術(shù)，現(xiàn)代的代數(shù)學(xué)、數(shù)論等最初就是由算術(shù)發(fā)展起來的。后來，算學(xué)、數(shù)學(xué)的概念出現(xiàn)了，它代替了算術(shù)的含義，包括了全部數(shù)學(xué)，算術(shù)就變成了一個(gè)分支了。因此，也可以說算術(shù)是最古老的分支。